Παρασκευή, 30 Μαΐου 2008

Οι σπείρες

Απολιθώματα αμμωνιτών
Ο Βέλγος φυσιοδίφης και γιατρός του 16ου αιώνα, Conrad Gesner ( 1516 - 65 ) , έχει χαρακτηρισθεί ως ο μεγαλύτερος φυσιοδίφης της εποχής του. Εξέδωσε συνολικά 72 έργα κι άφησε 18 ανολοκλήρωτα. Το 1565, έτος του θανάτου του στη Ζυρίχη από την πανούκλα, ολοκλήρωσε το πρωτοπωριακό του De Rerum Fossilium ( Περί των ανεσκαμμένων εκ της γης αντικειμένων ) , το οποίο σηματοδοτεί τη γέννηση της επιστήμης της παλαιοντολογίας.
Για τον Gesner και τους συγχρόνους του η λέξη " απολίθωμα " αναφερόταν σε οποιοδήποτε φυσικό αντικείμενο με προέλευση το έδαφος, είτε αυτό ήταν ορυκτό, είτε υπόλειμμα ζωντανού οργανισμού. Δεν αποτελεί λοιπόν ιδιαίτερη έκπληξη το γεγονός ότι πάσχιζαν να κατανοήσουν την ύπαρξη αυτών των " λίθινων συμπυκνώσεων ", όπως τα απολιθώματα των εξαφανισμένων θαλάσσιων μαλακίων, που είναι γνωστά ως αμμωνίτες. Ο Gesner δυσκολεύτηκε να ερμηνεύσει την ύπαρξή τους : ορισμένα θεώρησε ότι ήταν κελύφη σαλιγκαριών, ενώ άλλα τα πέρασε για κουλουριασμένα φίδια.
Η ερμηνεία των απολιθωμάτων είναι δύσκολη ακόμα και σήμερα. Μερικές φορές η διαδικασία της απολίθωσης όχι μόνο συγκαλύπτει την πραγματική φύση των οργανικών υπολειμμάτων, αλλά δημιουργεί και σχηματισμούς που δείχνουν οργανικοί, ενώ στην πραγματικότητα είναι ανόργανης προέλευσης - όπως πιστοποιεί η διχογνωμία για τα αρειανά μικροαπολιθώματα.
Τα έμβια όντα δεν έχουν αιχμηρά σχήματα. Για την ακρίβεια, ένα από τα αγαπημένα σχήματα της ζωής, η έλικα, βασίζεται σε καμπύλες. Με τον όρο έλικα, εννοούμε τουλάχιστον δύο πράγματα : μια επίπεδη καμπύλη που περιστρέφεται κινούμενη προς τα έξω, ή μια στρεβλωμένη καμπύλη στον χώρο, σαν μια ελικοειδή σκάλα. Η φύση διαθέτει και τις δύο αυτές μορφές, καθώς επίσης και μια σύνθεσή τους, που εμφανίζεται στα κοχύλια.
Τα ελικοειδή κοχύλια εμφανίζονται συνήθως σε απολιθώματα. Η επίπεδη έλικα του αμμωνίτη - του οποίου υπάρχουν αρκετά είδη - είναι ευρέως αναγνωρίσιμη. Οι αμμωνίτες ήταν πλάσματα που ζούσαν στις θάλασσες κατά τις περιόδους Δεβόνιο, Λιθανθρακοφόρο και Πέρμιο, πριν από 300 εκατομμύρια χρόνια.
Το σχήμα ορισμένων αμμωνιτών μοιάζει με την έλικα του Αρχιμήδη, όπου οι διαδοχικές περιελίξεις ισαπέχουν μεταξύ τους. Σχηματίζουν μια λογαριθμική έλικα, στην οποία οι αποστάσεις των σπειρών πολλαπλασιάζονται επί έναν συγκεκριμένο αριθμό για κάθε περιστροφή. Το πιο γνωστό κοχύλι τέτοιας μορφής είναι ο ναυτίλος, ένα θαλάσσιο μαλάκιο που ζεί στα βάθη του Ινδικού Ωκεανού. Διαθέτει μακριά πλοκάμια για να αιχμαλωτίζει και να τρώει καβούρια και κέλυφος για προστασία, το σχήμα του οποίου διαιρείται εκπληκτικά κανονικά σε διαδοχικά χωρίσματα.
.
Το κέλυφος του ναυτίλου
Το κέλυφος του Ναυτίλου, αποτελείται από καμπυλωμένες κυψελίδες που περιστρέφονται και μεγαλώνουν σταδιακά. Η δομή της ανάπτυξης ενός ναυτίλου παράγει ένα σχήμα λογαριθμικής σπείρας.
Τα σπειροειδή κελύφη των αμμωνιτών και του ναυτίλου προκύπτουν από απλούς τρόπους ενηλικίωσης του όντος καθώς χτίζει το κέλυφος γύρω του. Ένας αναπτυσσόμενος ναυτίλος δεν μπορεί να επεκταθεί στο εσωτερικό ενός σταθερού όστρακου, ούτε το τελευταίο μπορεί να επεκταθεί ώστε να χωρέσει έναν μεγαλύτερο ένοικο, εκτός κι αν εκείνος χτίσει επέκταση. Ακριβώς αυτό κάνει κι ο ναυτίλος. Προσθέτει νέο υλικό στο άκρο του κελύφους του και καθώς ο οργανισμός αναπτύσσεται εκθετικά, το ίδιο κάνει και το κέλυφος.
Στη στεριά, τα σαλιγκάρια κατασκευάζουν παρόμοια κελύφη που συχνά περιελίσσονται κατά την τρίτη διεύθυνση. Φυσικά, το σχήμα του κελύφους είναι πάντοτε τρισδιάστατο. Ο πυρήνας της έλικας - η γραμμή που που διατρέχει τα κέντρα των θαλάμων - παύει να βρίσκεται σ' ένα επίπεδο κι αρχίζει να συστρέφεται στην τρίτη διεύθυνση. Προσθέτοντας ένα νέο θάλαμο κι αλλάζοντας το μέγεθός του με κανονικό τρόπο, το σαλιγκάρι κατασκευάζει έναν θάλαμο υπό γωνία ως προς το επίπεδο του προηγούμενου.
Σύμφωνα με μετρήσεις στον ναυτίλο, κάθε διαδοχική περιέλιξη είναι περίπου τρεις φορές το πλάτος της προηγούμενης. Σε άλλα σπειροειδή όστρακα ο λόγος αυτός διαφέρει. Ο Ντ' Αρσί Τόμσον παραθέτει περισσότερα από 40 είδη οστράκων, στα οποία ο λόγος μεταξύ δύο διαδοχικών περιελίξεων κυμαίνεται από 1.14 έως 10. Ορισμένα όστρακα αμμωνιτών εμφανίζουν τόσο μικρό ρυθμό ανάπτυξης ώστε να μοιάζουν με την σπείρα του Αρχιμήδη, στην οποία οι διαδοχικές περιελίξεις είναι ίσες ( λόγος ίσος με 1 ).
Ωστόσο, οι περισσότεροι αμμωνίτες είχαν κελύφη λογαριθμικής σπείρας, πράγμα που σημαίνει ότι μεγάλωναν εκθετικά, διπλασιάζοντας το μέγεθός τους σε συγκεκριμένες χρονικές περιόδους. Άλλα όστρακα εμφανίζουν κάθε είδος σπειροειδούς σχήματος. Συμπέρασμα : η μορφή του όστρακου είναι κάποιο είδος καταγραφής του τρόπου ανάπτυξης του ενοίκου του και του ρυθμού με τον οποίο κατασκευάζει υλικό για το όστρακο. Το σχήμα που βλέπουμε σ' ένα όστρακο αποτελεί ένδειξη των κανόνων ανάπτυξης του όντος.

Η λογαριθμική σπείρα
Ένας αποτελεσματικός τρόπος σχεδίασης μιας καλής προσέγγισης σε μια λογαριθμική
σπείρα, αν κι αναπτύσσεται με διαφορετικό ρυθμό από το κέλυφος του Ναυτίλου, είναι να κατασκευάσουμε αυτή τη διάταξη τετραγώνων και σε κάθε τετράγωνο να τοποθετήσουμε από ένα τέταρτο της περιφέρειας ενός κύκλου.
Το σχήμα των σπειροειδών κελυφών εξηγείται με τη συμμετρία διαστολής - περιστροφής. Μια συμμετρία που μεταβάλει την κλίμακα ενός αντικειμένου ονομάζεται διαστολή. Η διαστολή πολλαπλασιάζει όλες τις αποστάσεις επί μια καθορισμένη ποσότητα, τον παράγοντα κλίμακας. Αν ο τελευταίος είναι μικρότερος της μονάδας, οι αποστάσεις συρρικνώνονται : έχουμε συστολή. Αν ο παράγοντας κλίμακας είναι μεγαλύτερος, όλες οι αποστάσεις αυξάνονται : το αντικείμενο μεγεθύνεται και διαστέλλεται. Αν συνδυάσουμε τη διαστολή με μία περιστροφή, το σχήμα που προκύπτει είναι μία σπείρα. Σπείρες υπάρχουν παντού στη φύση.
Η σπείρα είναι μία καμπύλη που περιελίσσεται - και διαρκώς απομακρύνεται - γύρω από ένα κεντρικό σημείο. Μόνο ένα είδος διαθέτει ακριβή συμμετρία διαστολής : η λογαριθμική σπείρα. Το όνομα προκύπτει επειδή η γωνία κατά την οποία στρέφεται, δίνεται από τον λογάριθμο της ακτίνας. Ένας ευφάνταστος τρόπος περιγραφής της είναι μία ράβδος άπειρου μήκους που περιστρέφεται γύρω από ένα σταθερό σημείο με σταθερή ταχύτητα. Ας φανταστούμε ένα μολύβι να κινείται κατά μήκος της ράβδου, απομακρυνόμενο από το σημείο περιστροφής, με αυξανόμενη ταχύτητα και μάλιστα εκθετικά - που σημαίνει ότι διπλασιάζεται κάθε συγκεκριμένη χρονική περίοδο. Καθώς η ράβδος περιστρέφεται και το μολύβι απομακρύνεται ταχύτατα, η μύτη του σχεδιάζει μια λογαριθμική σπείρα.
Το εμφανές ποιοτικό χαρακτηριστικό μιας λογαριθμικής σπείρας είναι ότι περιελίσσεται πολύ στενά γύρω από το κέντρο, αλλά μετά από διαδοχικές στροφές χαλαρώνει, καθώς αυξάνει η απόσταση από το κέντρο. Μια ποσοτική εξήγηση αυτής της περιέλιξης είναι ότι η καμπύλη είναι συμμετρική σ' έναν ιδιαίτερο συνδυασμό περιστροφής και διαστολής. Μάλιστα, κάθε περιστροφή της καμπύλης συνδυάζεται και με μια κατάλληλη διαστολή, ώστε να διατηρείται αναλλοίωτη η μορφή και η θέση της σπείρας.

Ο Λεονάρντο της Πίζα ( Φιμπονάτσι ) επινόησε την περιβόητη ακολουθία 1,2,3,5,8,13...στην οποία, εκτός από τους δύο πρώτους, κάθε άλλος αριθμός ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων ) ως πρόβλημα σ' ένα βιβλίο αριθμητικής. Σήμερα κατανοούμε αρκετά καλά τον τρόπο με τον οποίο η δυναμική ανάπτυξης των φυτών οδηγεί σε αριθμούς Φιμπονάτσι. Ωστόσο, οι λεπτομερείς βιολογικοί μηχανισμοί πίσω από τη δυναμική δεν έχουν κατανοηθεί πλήρως. Για παράδειγμα, πιστεύουμε ότι οι συγκεκριμένες ορμόνες χρησιμοποιούνται για την παρεμπόδιση της ανάπτυξης σε ειδικές θέσεις, αλλά δεν είμαστε βέβαιοι για ποιιές ορμόνες πρόκειται.
Γιατί οι αριθμοί Φιμπονάτσι ; Η σύντομη εξήγηση είναι ότι ο τρόπος ανάπτυξης των φυτών οδηγεί σε μια προτίμηση για ένα μικρό εύρος γεωμετριών με πιο ενδιαφέρον τα ελικοειδή σχήματα που βασίζονται στη λεγόμενη χρυσή γωνία. Η τελευταία, περίπου ίση με με 137,5 μοίρες, έχει ισχυρή μαθηματική συγγένεια με τους αριθμούς Φιμπονάτσι κι ευθύνεται για την εμφάνισή τους.
Η μακροσκελής εξήγηση ... διαρκεί περισσότερο. ΄Οταν ένα νεαρό φυτό ξεφυτρώνει κι αρχίσει ν' αναπτύσσεται, η κύρια πηγή δραστηριότητας είναι η κορυφή του θαλλού. Εδώ τα κύτταρα διαιρούνται διαρκώς παράγοντας νέα. Τα κύτταρα μεταναστεύουν από την κορυφή του θαλλού προς τη βάση του κι έτσι σχήματα γενετικής και βιοχημικής δραστηριότητας δίνουν το πλαίσιο για τη μετέπειτα ανάπτυξη πλευρικών θαλλών, πετάλων, σπόρων κι όλων των υπόλοιπων οργάνων του φυτού.

Οι ύπεροι της μαργαρίτας διατάσσονται σε διαδοχικές μονάδες υπό γωνία 137,5 μοιρών. Οι σπόροι επισωρεύονται σφιχτά και ισαπέχουν ( κέντρο ) . Αν η γωνία είναι μικρότερη ( αριστερά ) ή μεγαλύτερη ( δεξιά ), οι σπόροι δεν επισωρεύονται κατάλληλα. Η αριθμολογία Φιμπονάτσι και η γεωμετρία της σπείρας υπαγορεύουν ότι η ανάπτυξη του φυτού υπακούει σε απλούς αλλά κρυμμένους μαθηματικούς νόμους που βρίσκονται στο κοινό σύνορο της δυναμικής, της γεωμετρίας και της αριθμητικής.
Κοντά στην κορυφή σχηματίζονται σμήνη κυττάρων, έτοιμα να εξειδικευτούν σε όργανα. Τα σμήνη, που ονομάζονται πρωτογενή μεριστώματα, δημιουργούνται από ένα κάθε φορά. Το συνολικό σχήμα ανάπτυξης είναι σπειροειδές. Κάθε διαδοχικό μερίστωμα εμφανίζεται κατά μήκος μιας στενά περιελισσόμενης παραγωγικής σπείρας και η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών μεριστωμάτων είναι η χρυσή γωνία. Αποδεικνύεται όιτι αυτή η ιδιαίτερη γωνία οδηγεί σε αποτελεσματική επισώρευση των μεριστωμάτων ενώ καμμία άλλη γωνία δεν δίνει το ίδιο αποτέλεσμα. Όμως, αυτή η αποτελεσματικότητα είναι συνέπεια κι όχι αίτιο του σχήματος της ανάπτυξης. Η απόσταση της χρυσής γωνίας είναι αποτέλεσμα μηχανικών και χημικών επιδράσεων που ενθαρρύνουν κάθε νέο πρωτογενές μερίστωμα να αναπτυχθεί στη μεγαλύτερη διαθέσιμη κενή περιοχή.
Το πιο θεαματικό παράδειγμα αριθμολογίας Φιμπονάτσι στα άνθη είναι ο ύπερος της μαργαρίτας και ιδιαίτερα των μεγάλων ηλίανθων. Εδώ, οι σπόροι από μεριστώματα τοποθετημένα κατά μήκος μιας παραγωγικής σπείρας σε διαδοχικές αποστάσεις που διαφέρουν κατά τη χρυσή γωνία, ευθυγραμμίζονται σε πιο εμφανείς σπειροειδείς περιελίξεις. Συνήθως υπάρχουν 34 δεξιόστροφες περιελίξεις και 55 αριστερόστροφες, ή 55 και 89, ή 89 και 144, όλοι διαδοχικοί αριθμοί Φιμπονάτσι.
Η ίδια αριθμολογία μπορεί να παρατηρηθεί στα κουνουπίδια, τα οποία μοιάζουν σα άμορφες λευκές μάζες. Αν κοιτάξουμε προσεκτικά θα διαπιστώσουμε ότι οι μάζες αυτές είναι διατεταγμένες σε όμορφες σπειροειδείς περιελίξεις. Συμπέρασμα : Άλλα τα μάτια του μαθηματικού κι άλλα της κουκουβάγιας :)

Ο μυξομύκητας
Ο μυξομύκητας αποτελεί αποικία αμοιβάδων, η οποία αναπαράγεται με τη διαίρεση και την εξάπλωση των αμοιβάδων. Όταν οι πληθυσμοί αυξηθούν, ορισμένες αμοιβάδες ξεραίνονται και σχηματίζουν σπόρους που σωρεύονται σε μια στρογγυλή δομή, ενώ οι υπόλοιπες υψώνουν κάτι σα στέλεχος για την εγκατάστασή τους. Κατόπιν οι σπόροι σκορπίζονται στον αέρα.
Ο ταπεινός μυξομύκητας είναι ένας μικροσκοπικός, χωρίς νοημοσύνη οργανισμός, δημιουργεί όμως τα πλέον θεαματικά σπειροειδή σχήματα. Δεν είναι μια αμοιβάδα, αλλά μια αποικία αμοιβάδων. Ο κύκλος ζωής του αρχίζει μ' ένα μικρό σπόρο, μια αποιξηραμένη αμοιβάδα που σκορπίζεται στον αέρα μέχρι να βρεί ένα καλό και υγρό μέρος. Εκεί μετατρέπεται σε αυθεντική αμοιβάδα, αναζητά τροφή κι αρχίζει ν' αναπαράγεται με διαίρεση μέχρι να γίνει αρκετά μεγάλη. Σύντομα οι αμοιβάδες γίνονται πολλές. Η τροφή δεν επαρκεί, και οι αμοιβάδες σκορπίζονται σε μικρές περιοχές. Όλες οι αμοιβάδες σε μια περιοχή συγκεντρώνονται η μία κοντά στην άλλη και, καθώς το πλήθος τους κινείται προς τον κοινό προορισμό, σχηματίζουν κομψές σπείρες οι οποίες, κατά σύμπτωση, περιστρέφονται αργά.
Το πλήθος των αμοιβάδων γίνεται πυκνότερο και οι σπείρες ολοένα και πιο κλειστές. Κατόπιν αναλύονται σε ευθύγραμμα σχήματα που μοιάζουν με ρίζες. Οι γραμμές αυξάνουν σε πάχος και, καθώς ολοένα και περισσότερες αμοιβάδες προσπαθούν να φτάσουν στο ίδιο μέρος, συσσωρεύονται δημιουργώντας τη γνωστή βλεννώδη μάζα. Η τελευταία είναι μια ολόκληρη αποικία. Κινείται σαν μεμονωμένος οργανισμός, αναζητώντας κάποιο στεγνό μέρος για να αναπαραχθεί. Όταν το βρεί, εγκαθίσταται στο έδαφος και υψώνει ένα μακρύ στέλεχος. Οι υπόλοιπες αμοιβάδες σχηματίζουν μια στρογγυλή δομή στην κορυφή του στελέχους, ενώ οι αμοιβάδες στο καρποφόρο σώμα μετατρέπονται σε σπόρους, σκορπίζονται στον αέρα κι ο κύκλος επαναλαμβάνεται.
Οι μαθηματικοί βιολόγοι Τόμας Χέφερ και Μάρτιν Μπέρλιστ ανακάλυψαν ένα απλό σύστημα μαθηματικών εξισώσεων που αναπαράγει τόσο τις σπείρες όσο και τα ευθύγραμμα σχήματα. Οι κύριοι παράγοντες που ευθύνονται για τα σχήματα είναι η πυκνότητα του πληθυσμού των αμοιβάδων, ο ρυθμός με τον οποίο παράγουν τη χημική ουσία με το όνομα κυκλικό AMP, και η ευαισθησία μεμονωμένων αμοιβάδων σε αυτή τη χημική ουσία. Κάθε αμοιβάδα αναγγέλει την παρουσία της στους γείτονές της με την εκπομπή κυκλικού AMP. Τότε οι αμοιβάδες κατευθύνονται προς τη διεύθυνση στην οποία οι “ κραυγές ” είναι εντονότερες. Όλα τα υπόλοιπα είναι μαθηματικό επακόλουθο αυτής της διεργασίας.

Σπειροειδές κύμα
Μερικές φορές, οι μυξομύκητες κινούνται σαν γυμνοσάλιαγκες σε τρισδιάστατα σπειροειδή κύματα.
Ο μαθηματικός βιολόγος Κορνέλιους Βέϊερ έδειξε ότι παρόμοιες εξισώσεις μπορούν επίσης να μοντελοποιήσουν την κίνηση της βλεννώδους μάζας. Πρόκειται για ένα τρισδιάστατο πρόβλημα κι η απάντηση εμπλέκει το τρισδιάστατο “ σπειροειδές κύμα ”. Ο Άρτ Ουίνφρι, επίσης μαθηματικός βιολόγος, προέβλεψε την εμφάνιση τέτοιων κυμάτων στην αντίδραση Μπελούσοφ – Ζαμποτίνσκι σε τρείς διαστάσεις, ενώ έχουν διεξαχθεί πειράματα που τα ανίχνευσαν.
Ένα σπειροειδές κύμα μοιάζει με σπείρα αλλά διαθέτει μια επιπλέον συστροφή : έστω ότι τυλίγουμε ένα φύλλο χαρτιού πολλές φορές μέχρι να σχηματιστεί μία σπείρα. Κάμπτουμε τα δύο άκρα μέχρι να συναντηθούν κι έχουμε ένα σχήμα λουκουμά με σπειροειδή διατομή. Αυτό είναι περίπου ένα σπειροειδές κύμα. Για την ακρίβεια, πρέπει επιπρόσθετα να συστρέψουμε το ένα άκρο του χαρτιού κατά ένα πλήρη κύκλο προτού το εφαρμόσουμε στο άλλο. Τα άκρα θα συνεχίσουν να ταιριάζουν, καθώς κάναμε μια πλήρη συστροφή, αλλά τώρα οι σπειροειδείς διατομές στρέφονται κατά 360 μοίρες καθώς κινούμαστε γύρω από το λουκουμά.
Το τελικό βήμα είναι να θυμηθούμε ότι σε δύο διαστάσεις οι σπείρες Μπελούσοφ – Ζαμποτίνσκι δεν είναι στατικές αλλά περιστρέφονται. Όλες αυτές οι σπειροειδείς διατομές περιστρέφονται συντονισμένα κι αυτό είναι ένα σπειροειδές κύμα. Η παράξενη, στροβιλιζόμενη περιστροφή του είναι αυτό ακριβώς που χρειάζεται ώστε η βλεννώδης μάζα να διασχίσει το έδαφος αναζητώντας ένα μέρος για να ριζώσει και να ξεπετάξει το καρποφόρο σώμα της.
Τα περισσότερα από τα γονίδια του μυξομύκητα απλώς υπαγορεύουν τον τρόπο μετατροπής του σε αμοιβάδα. Τα γονίδια που τον βοηθούν να δημιουργήσει σχήματα υπαγορεύουν στις αμοιβάδες πώς να εκπέμψουν χημικά σήματα, πώς να τα ανιχνεύσουν και πως ν’ αποικριθούν, όμως τα ίδια τα πραγματικά σχήματα δεν καθορίζονται από τα γονίδια. Αντ’ αυτού, τα σχήματα προκύπτουν από τους μαθηματικούς κανόνες που διέπουν τα χημικά σήματα και τις αμοιβάδες. Ο κύκλος ζωής του μυξομύκητα οφείλει πολλά τόσο στα μαθηματικά όσο και στη γενετική.
Πηγές στοιχείων : Ίαν Στιούαρτ, " Οι μυστικοί αριθμοί : από το σχήμα της χιονονιφάδας στο σχήμα του σύμπαντος ", Τραυλός 2001, Το βιβλίο των επιστημών, Αλεξάνδρεια 2005 καθώς και οι ιστοσελίδες που ήδη αναφέρθηκαν.

Τετάρτη, 28 Μαΐου 2008

Τα σχήματα της φύσης - 2

Μονολότι τα σχήματα της φύσης παρουσιάζουν μεγάλη ποικιλία, διαθέτουμε τρόπους να τα ενοποιήσουμε. Τα μαθηματικά που μελετούν τα μορφώματα, έχουν ένα συστατικό στοιχείο που " διαπερνά "όλα τα σχήματα που συναντήσαμε μέχρι τώρα, σαν ένα χρυσό νήμα. Το νήμα αυτό είναι η συμμετρία.
Η " συμμετρία " δηλώνει την κομψότητα της αναλογίας. Στα μαθηματικά η λέξη έχει ακριβές νόημα.
Ένα σχήμα είναι συμμετρικό αν παραμένει το ίδιο αφού μετασχηματισθεί : αν ανακλασθεί, στραφεί, ολισθήσει, διασταλεί, συσταλεί. Κάθε τέτοιος μετασχηματισμός ονομάζεται συμμετρία του αντικειμένου.
Το απλούστερο μαθηματικό παράδειγμα είναι η αμφίπλευρη συμμετρία, στην οποία η αριστερή και η δεξιά πλευρά του αντικειμένου είναι ίδιες όταν υφίστανται κατοπτρισμό.
Η ανθρώπινη μορφή παρουσιάζει μια κατά προσέγγιση αμφίπλευρη συμμετρία εξωτερικά. Τα πρόσωπά μας μοιάζουν συμμετρικά, αλλά μια προσεκτική παρατήρηση αποκαλύπτει ότι το ένα φρύδι έχει λίγο διαφορετικό σχήμα από το άλλο, η μία γωνία του στόματος αλλάζει ελαφρώς σε σύγκριση με την άλλη, η μύτη δεν είναι ακριβώς ευθυγραμμισμένη με το κέντρο του προσώπου. Αν πάρουμε το μισό ενός προσώπου και το ενώσουμε με το κατοπτρικό του είδωλο, θα καταλάβουμε αμέσως τη διαφορά : τα δύο μισά δίνουν διαφορετικά αποτελέσματα.
Η αμφίπλευρη ή αριστερά - δεξιά συμμετρία ( επιφανειακά, αν όχι και στο εσωτερικό ) αποτελεί τον κανόνα στο ζωϊκό βασίλειο. Οι πεταλούδες είναι συμμετρικές, με κάθε φτερό να φέρει μια κατοπτρική εικόνα του άλλου. Οι σκύλοι, οι γάτες, οι αγελάδες, τα πρόβατα, τα άλογα, οι ελέφαντες, οι καμήλες, οι σκαντζόχοιροι, τα περιστέρια, τα χελιδόνια, οι σαύρες, οι βάτραχοι, τα σκαθάρια, οι αράχνες, οι αστακοί, τα σελάχια, οι καρχαρίες είναι όλα λίγο πολύ αριστερά - δεξιά συμμετρικά. Τα απολιθώματα δείχνουν ότι η αμφίπλευρη συμμετρία υπήρχε στον κόσμο από την κατώτερη προκάμβρια εποχή ( π.χ. το αρθρόποδο του γένους Spriggina, που έζησε πριν από περίπου 560 - 580 εκατομμύρια χρόνια).

Περιστροφική συμμετρία
Ο αστερίας περιστρέφεται σε πέντε διαφορετικές θέσεις, και σε καθεμιά μοιάζει ακριβώς ίδιος όπως στην αρχική θέση. Περιστροφική συμμετρία παρουσιάζουν επίσης τα λουλούδια και οι χιονονιφάδες.
Ωστόσο, υπάρχουν κι άλλα είδη συμμετρίας εκτός από την αμφίπλευρη ανάκλαση. Ο αστερίας έχει πέντε σχεδόν πανομοιότυπους βραχίονες, καθένας σε ίση απόσταση από τον κορμό του αστερία και δηλαδή πέντε συμμετρίες ανάκλασης. Εδώ είναι προφανής η περιστροφική συμμετρία, όμως ο αστερίας διαθέτει και αμφίπλευρη : φανταστείτε μία γραμμή να διατρέχει το μέσον ενός βραχίονα χωρίζοντας τους υπόλοιπους βραχίονες σε δύο γειτονικά ζεύγη. Το σχήμα στ' αριστερά της γραμής είναι ίδιο μ' εκείνο στα δεξιά. Υπάρχουν πέντε τέτοιες γραμμές, μία για κάθε βραχίονα.
Γιατί η συμμετρία - ειδικότερα η αμφίπλευρη - είναι τόσο χαρακτηριστική στα έμβια όντα ; Είναι συνέπεια του τρόπου που αναπτύσσονται ; Το αναπτυσσόμενο έμβρυο - ενός βατράχου, ενός ερπετού ή ενός ανθρώπου - υφίσταται πολλές αλλαγές της συμμετρίας, όμως από τα πρώϊμα στάδια κυριαρχεί η αμφίπλευρη που στη συνέχεια διατηρείται, εκτός από κάποιες λεπτομέρειες στα εσωτερικά όργανα. Ίσως η αμφίπλευρη συμμετρία να ταυτίζεται με τη διαδικασία ανάπτυξης. Εφόσον το αριστερό μέρος των ζώων αναπτύσσεται σύμφωνα με συγκεκριμένους κανόνες και το δεξί υπακούει στους ίδιους κανόνες, τότε τα δύο μισά οφείλουν να μοιάζουν.
Αντίστροφα, άλλοι αναπτυσσόμενοι οργανισμοί ίσως πρέπει να " προσπαθήσουν "για τη διατήρηση της συμμετρίας τους καθώς μεγαλώνουν, διότι παρουσιάζουν αποκλίσεις που ενισχύονται καθώς το ον αναπτύσσεται. Ο αστερίας αλλάζει συμμετρία : αρχίζει με αμφίπλευρη και καταλήγει σε πενταπλά συμμετρικό σχήμα. Το σχήμα που δεν υιοθετεί αυτή τη συμμετρία, αναλώνεται ή απορρίπτεται και μόνο το πενταπλά συμμετρικό συμμετρικό τμήμα συνεχίζει την ανάπτυξή του. Η συμμετρία των έμβιων όντων κρατά κρυμμένο ένα μεγάλο κομμάτι του μυστηρίου της.

Η κυκλική συμμετρία του ηλιακού μας συστήματος
Επειδή η βαρύτητα επιδρά προς κάθε κατεύθυνση, διατάσσει τους πλανήτες και τους αστεροειδείς σε κύκλους. Έτσι, το ηλιακό μας σύστημα χαρακτηρίζεται από σχεδόν κυκλική συμμετρία. Για παρόμοιους λόγους, οι δακτύλιοι του Κρόνου δεν είναι απλώς ένας επίπεδος δίσκος. Έχουν κενά, οι βράχοι και οι πάγοι διατάσσονται σε κύκλους και παρουσιάζουν επίσης κυκλική συμμετρία.
Οι περιστροφικές συμμετρίες βρίσκουν δικαίωση στον ουρανό. Για τους αρχαίους Έλληνες, οι πλανήτες ήταν κηλίδες φωτός στον ουρανό που ξεχώριζαν από τους απλανείς αστέρες μόνο από την επιμονή τους να περιπλανώνται. Αργότερα, διευκρινίστικε ότι κάθε πλανήτης είναι ένας ολόκληρος κόσμος, όμοιος " σχεδόν " με τον δικό μας, αλλά κατά βάση διαφορετικός. Οι περισσότεροι πλανήτες διαθέτουν ατμόσφαιρα, εκτός από τον Ερμή. Οι πλανητικές ατμόσφαιρες περιέχουν ποσότητες αερίων πολύ διαφορετικά από τα δικά μας. Πχ. η ατμόσφαιρα του Δία, περιέχει κυρίως υδρογόνο και ήλιο.
Κάθε πλανήτης είναι διαφορετικός. Ο Ερμής δεν έχει ατμόσφαιρα, είναι γεμάτος βράχους και κρατήρες. Η Αφροδίτη είναι ένα θερμοκήπιο γεμάτο οξέα, διάσπαρτη με ενεργά ηφαίστεια. Ο Άρης είναι μια παγωμένη έρημος. Ο Δίας είναι ένας ριγωτός γίγαντας με μια μεγάλη κόκκινη κηλίδα. Ο Κρόνος έχει εντυπωσιακούς δακτυλίους από βράχους που κινούνται γύρω του, ενώ ο Ουρανός είναι ένα άμορφο σφαιρικό νέφος. Ο Ποσειδώνας περιστρέφεται ταχύτατα, ενώ ο Πλούτωνας - εντελώς παράξενος - φτάνει στο σημείο να θεωρείται από ορισμένους αστρονόμους ως ένα αντικείμενο της ζώνης Κουϊπερ, ένας μεγάλος αστεροειδής, ούτε καν πλανήτης.

Το ηλιακό σύστημα

Όσο διαφορετικά κι αν είναι τα μέλη της, η ακολουθία των πλανητών του Ήλιου συμμορφώνεται σε κάποια κοινά χαρακτηριστικά. Ο Δίας, ο Ουρανός κι ο Ποσειδώνας έχουν δακτυλίους, η Αφροδίτη κι ο Άρης κρατήρες, ενώ η ατμόσφαιρα του Κρόνου έχει λωρίδες. Ορισμένες διαφορές έχουν κοινή εξήγηση. Σύμφωνα με τον Αϊνστάιν, οι νόμοι της φύσης οφείλουν να είναι ίδιοι παντού, ακόμη κι αν παράγουν διαφορετικά αποτελέσματα σε διαφορετικά μέρη. Για παράδειγμα, οι πλανητικές ατμόσφαιρες καθορίζονται κυρίως από το ποιά μόρια αερίων δεσμεύονται από τα βαρυτικά πεδία τους. Οι πλανήτες με μεγαλύτερη μάζα μπορούν να συγκρατήσουν ελαφρύτερα αέρια κι ακριβώς αυτό διαπιστώνουμε.
Κοινά χαρακτηριστικά των πλανητών είναι τα σχήματα και οι κινήσεις. Όλοι είναι στρογγυλοί και περιστρέφονται γύρω από κάποιο άξονα. Αυτό σημαίνει ότι η φυσική των πλανητικών επιφανειών, ατμοσφαιρών κι εσωτερικής δομής ταιριάζει σ' ένα κοινό πλαίσιο : εκείνο ενός περιστρεφόμενου, σφαιρικά συμμετρικού συστήματος. Ωστόσο, η περιστροφή ενός πλανήτη μπορεί να καταστρέψει την σφαιρική συμμετρία, ανάγοντάς την σε κυκλική ως προς τον άξονα περιστροφής. Αυτό που συμπεραίνουμε επομένως είναι ότι τα κύρια χαρακτηρηστικά ενός πλανήτη θα είναι συμμετρικά ως προς όλες τις περιστροφές γύρω από τον άξονά του το οποίο σημαίνει ότι τα πάντα θα εμφανίζονται σε κυκλικές ζώνες.
Οι δακτύλιοι του Κρόνου είναι όντως έτσι. Κάποιες λεπτομέρειες δημιουργούν ελαφρώς μη κυκλικούς δακτυλίους. Ιδωμένοι από τους πόλους του πλανήτη, σχεδόν όλοι οι δακτύλιοι σχηματίζουν μια σειρά κυκλικών ζωνών που διαχωρίζονται από περιστασιακά κυκλικά διάκενα και βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο με τον ισημερινό του Κρόνου.
Η ριγωτή ατμόσφαιρα του Δία είναι επίσης συνεπής ως προς την κυκλική συμμετρία, σχηματίζοντας χρωματιστούς κύκλους νεφών με κέντρο τους πόλους. Αν μέσα σ' ένα διάφανο σφαιρικό κέλυφος κλείσετε μια λίγο μικρότερη συμπαγή σφαίρα, γεμίσετε το ενδιάμεσο με ένα ρευστό και περιστρέψετε το σύστημα, τότε το ρευστό αυθόρμητα διατάσσεται σε ζώνες, περίπου όπως στο Δία. Ο λόγος σ' αυτή τη περίπτωση είναι η επίδραση των δυνάμεων που δημιουργούνται από την περιστροφή, οι οποίες αναγκάζουν το ρευστό να κινηθεί κυκλικά.
Η περιστροφική συμμετρία οδηγεί σε μιά προτίμηση για δομές ζώνης. Στον Δία επιδρούν επιπρόσθετα φαινόμενα θερμότητας. Τα εξωτερικά στρώματα δέχονται ελάχιστη θερμότητα από τον Ήλιο κι έτσι ο πλανήτης παραμένει ψυχρός, ενώ τα βαθύτερα είναι πολύ θερμότερα. Αυτή η διαφορά θερμότητας δυνεισφέρει στη δημιουργία ζωνών.

22.05.08 : Μια νέα κηλίδα δημιουργήθηκε στον Δία

28.06.08 : Οι κηλίδες αναμιγνύονται

08.07.08 : Οι κηλίδες αναμίχθηκαν
Όμως, δεν είναι όλα τόσο βολικά. Ορισμένες δομές σε κυκλικά συμμετρικούς πλανήτες δεν είναι κυκλικά συμμετρικές. Ένα εντυπωσιακό παράδειγμα είναι η Μεγάλη Κόκκινη Κηλίδα του Δία - μια οβάλ περιοχή μεγάλη σχεδόν όσο ολόκληρη η επιφάνεια της Γης - που βρίσκεται εκεί για περισσότερα από 300 χρόνια. Επιπλέον, κινείται ως προς τον υπόλοιπο πλανήτη.
Ίσως να είναι ένα είδος διαρκούς καταιγίδας. Ότι κι αν είναι, δεν διαθέτει περιστροφική συμμετρία ως προς τον άξονα του πλανήτη. Παρ' όλ' αυτά, τα πειράματα με περιστρεφόμενα ρευστά υποδεικνύουν ότι μεμονωμένες γιγάντιες δίνες αυτού του είδους είναι τυπικές σε περιστροφικά συμμετρικά συστήματα. Τα συμπεράσματα είναι δύο : συμμετρικά συστήματα άλλοτε συμπεριφέρονται συμμετρικά κι άλλοτε μη συμμετρικά. Το αίνιγμα είναι ευρύ και βαθύ.
Πηγές στοιχείων : Ίαν Στιούαρτ, " Οι μυστικοί αριθμοί : από το σχήμα της χιονονιφάδας στο σχήμα του σύμπαντος ", Τραυλός 2001 καθώς και οι ιστοσελίδες του Hubble που ήδη αναφέρθηκαν. Η φωτογραφία με τους αστερίες και εκείνη με το ηλιακό σύστημα προέρχονται από το διαδίκτυο.

Κυριακή, 25 Μαΐου 2008

Κύκλοι

Φωτιστικό " Gaia ", Artemide
Κατάλογος προϊόντων 2003
Ο χρόνος είναι μονοδιάστατος - δεν μπορεί να προχωρά πλαγίως. Η κίνηση είναι μια ακολουθία μεταβολών της θέσης, που συμβαίνει έτσι ώστε να υπάρχει μια ροή στο χρόνο προς τα εμπρός. Η δυναμική είναι μια προσωρινά ταξινομημένη ακολουθία αλλαγών κατάστασης, όπου συχνά η κατάσταση του συστήματος είναι η θέση του, ενδέχεται όμως να είναι η θερμοκρασία του, η υγρασία, το επίπεδο ηλεκτρικής δραστηριότητάς του, η ψυχολογική του διάθεση ή ακόμη και η τιμή των ψαριών.
Τα δυναμικά γεγονότα μπορεί να είναι τυχαία ή προδιαγεγραμμένα. Στην Ιταλία της Αναγένννησης, ο νεαρός Γαλιλαίος, παρατηρώντας έναν πολυέλαιο στον τρούλο μιας εκκλησίας πρόσεξε ότι οι αιωρήσεις διαρκούσαν τον ίδιο χρόνο, είτε ήταν μεγάλες είτε μικρές. Αυτό του έδωσε την ιδέα για το εκκρεμές. Η κανονική αιώρηση ενός εκκρεμούς είναι μια απλή χρονική περίοδος ενός περιοδικού κύκλου - μιας δυναμικής που επαναλαμβάνει την ίδια συμπεριφορά σε ίσα χρονικά διαστήματα. Τέτοιοι κύκλοι αποτελούν ένδειξη για τον αιτιοκρατικό χαρακτήρα των νόμων της φύσης : ένα σύστημα που όταν επιστρέφει στην αρχική του θέση έχει επαναλάβει ότι έκανε στην πρώτη στροφή είναι αιτιοκρατικό. Ωστόσο, αν οι νόμοι επιτρέπουν διαφορετικές συμπεριφορές κάτω από ίδιες συνθήκες, τότε δεν υπάρχει κανένας λόγος να περιμένουμε την επανάληψη του κύκλου : οι νόμοι εμπλέκουν και την τύχη επίσης.
Οι περιοδικοί κύκλοι είναι μια εξαιρετικά σημαντική κατηγορία δυναμικής δομής, διότι προβλέπουμε εύκολα τη συμπεριφορά τους : η πρόβλεψη για κάθε κύκλο είναι ότι την επόμενη φορά θα συμβεί ακριβώς ότι συνέβει και την προηγούμενη.
Η ζωή μας είναι γεμάτη από σχεδόν περιοδικούς κύκλους. Κύματα που φουσκώνουν κι ύστερα αφρίζουν στην ακρογιαλιά, η ανατολή και το ηλιοβασίλεμα, ο κύκλος των εποχών. Τα πουλιά αποδημούν το χειμώνα κι επιστρέφουν την άνοιξη, ενώ οι πεταλούδες πετούν χιλιάδες χιλιόμετρα προκειμένου να ζευγαρώσουν.
Οι δονήσεις που δημιουργούν τον ήχο στη μουσική είναι περιοδικοί κύκλοι. Όταν η χορδή ενός βιολιού ηχεί στη μεσαία νότα του ντο, κινείται για έναν περιοδικό κύκλο που διαρκεί σχεδόν 1/250 του δευτερολέπτου. Το ίδιο συμβαίνει στις χορδές της κιθάρας, στον αέρα σ' ένα κλαρινέτο, στο σωλήνα ενός εκκλησιαστικού οργάνου και στη μεμβράνη ενός τυμπάνου. Το φως είναι επίσης μια περιοδική σειρά δονήσεων, αλλά αυτές οι δονήσεις είναι πολύ ταχύτερες από εκείνες του ήχου κι αυτό που δονείται εδώ είναι το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο.
Ακόμα κι η ίδια μας η ζωή εξαρτάται από την επιτυχή επανάληψη ενός περιοδικού κύκλου. Όταν ξεκουραζόμαστε, η καρδιά μας χτυπάει σ' έναν πλήρη επαναλήψεων ρυθμό, ενώ όταν κινούμαστε οι παλμοί αυξάνουν προκειμένου να βελτιώσουν τη ροή του οξυγόνου στο αίμα. Η αναπνοή μας έχει επίσης κυκλικό χαρακτήρα ενώ, όταν περπατάμε, τα πόδια μας κινούνται σ' έναν περιοδικό κύκλο. Όταν κάνουμε ποδήλατο τα πόδια μας διαγράφουν περιοδικούς κύκλους. Το ίδιο κάνουν κι οι περισσότερες συνιστώσες του ποδηλάτου !
Όλοι οι άνθρωποι, ολόκληρος ο πλανήτης, ολόκληρο το σύμπαν, τρέχουμε πάνω σ' ένα τεράστιο, δαιδαλώδες σύστημα αλληλο - εμπλεκόμενων κύκλων. Φυσικά, τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά.

Ουράνιοι κύκλοι
Ορισμένες από τις πρώτες δομές της φύσης που παρατήρησε ο άνθρωπος βρίσκονται στον ουρανό : ο ετήσιος κύκλος των εποχών, οι φάσεις της σελήνης και οι κινήσεις των πλανητών ανάμεσα στους " απλανείς " αστέρες. Οι αρχαίοι παρατήρησαν γρήγορα αυτές τις δομές. Οι σύγχρονες αστρονομικές δομές περιλαμβάνουν γαλαξίες και μαύρες τρύπες.
Οι κύκλοι που σχηματίζονται στον ουρανό επηρεάζουν και τη Γη. Γενικά, οι πρώτοι αστρονομικοί κύκλοι που παρατηρήθηκαν δεν μας επηρεάζουν ιδσιαίτερα, όμως σήμερα υπάρχουν αντικείμενα στον ουρανό ( σε κυκλικές τροχιές ) που παρακολουθούν τη ζωή μας.
Ο ουράνιος κύκλος με τη μεγαλύτερη επίδραση στα γήϊνα δρώμενα είναι η εναλλαγή της μέρας με τη νύχτα, κύκλος που χρειάζεται 24 ώρες. Σήμερα γνωρίζουμε ότι αυτός ο κύκλος προκύπτει από την περιστροφή της Γης, αλλά για τους αρχαίους ήταν προφανές ότι η Γη ήταν ακίνητη ( διαφορετικά θα έπεφταν όλοι κάτω ). Αργότερα, οι άνθρωποι σκέφτηκαν ότι δεν είχε σημασία τι κάνει η Γη διότι οι παρατηρητές κινούνταν μαζί μ' αυτό που παρατηρούσαν. Παρ' όλ' αυτά, χρειάστηκε μεγάλη προσπάθεια για να ξεχάσουν ότι η Γη είναι το κέντρο του σύμπαντος κι όλα, συμπεριλαμβανομένου και του Ήλιου, κινούνται γύρω της.
Υπάρχουν αναρίθμητοι κύκλοι. Ο κύκλος των εποχών επαναλαμβάνεται σχεδόν κάθε 365,1/4 ημέρες, με τον Ήλιο να διέρχεται από το σύνολο των 12 αστερισμών του ζωδιακού κύκλου. Πιθανώς οφείλουμε αυτούς τους αστερισμούς στους Βαβυλώνιους, που ήταν μανιώδεις με το νυχτερινό ουρανό. Για παράδειγμα, κατασκεύασαν πίνακες με την κίνηση του Δία κι αναγνώρισαν κύκλους σ' αυτή. Οι αρχαίοι έκαναν ακριβείς παρατηρήσεις και μέχρι την εποχή των Ελλήνων γνώρζαν τη μετατόπιση των ισημεριών : μια αργή μετατόπιση της ημερομηνίας στην οποία η μέρα είναι ίση με τη νύχτα, έναν κύκλο που χρειάζεται σχεδόν 26.000 χρόνια για την ολοκλήρωσή του.
Σήμερα γνωρίζουμε την ασημαντότητα του πλανήτη μας σε σχέση με την απεραντοσύνη του σύμπαντος. Στο μεγάλο συμπαντικό χάρτη, η Γη μας είναι μάλλον ένας ασήμαντος κόσμος που περιφέρεται γύρω από έναν όχι και τόσο ξεχωριστό αστέρα ενός όχι και τόσο ιδιαίτερου γαλαξία, αλλά πάντως είναι ο δικός μας κόσμος.
Υπάρχουν κύκλοι ακόμη και σε γαλαξιακή κλίμακα : ο Γαλαξίας μας είναι μια γιγαντιαία δίνη αστέρων, όπου η πλήρης περιφορά γύρω από το κέντρο του Γαλαξία διαρκεί 250 εκατομμύρια χρόνια.
Ως συνήθως,
η μαθηματική εξιδανίκευση συλλαμβάνει ορισμένες πτυχές της πραγματικότητας, αλλά αγνοεί άλλες. Ο ημερήσιος κύκλος διαρκεί 24 ώρες, αλλά η δομή της ημέρας και της νύχτας μεταβάλλεται με τις εποχές. Κοντά στους πόλους στις χώρες του Ήλιου του μεσονυχτίου ο 24ωρος κύκλος δεν διακρίνεται από περιόδους ημέρας και νύχτας. Ο Ήλιος παραμένει πάνω από τον ορίζοντα επί ένα τέταρτο του έτους και κάτω από τον ορίζοντα για άλλο ένα τέταρτο, ενώ το φως και το σκοτάδι εναλάσσονται στις ενδιάμεσες περιόδους. Αυτές οι περιπλοκές προκύπτουν από την κλίση του άξονα της Γης. Η 24ωρη περίοδος είναι στην πραγματικότητα η περίοδος κατά την οποία η Γη περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της κι οι κύκλοι της μέρας και της νύχτας είναι συνέπειες αυτής της περιστροφής.
Οι περιοδικοί κύκλοι στον ουρανό μπορούν να έχουν βαθιά επίδραση στη ζωή. Στο εσωτερικό πολλών οργανισμών υπάρχει ένα βιολογικό ρολόϊ, σε συμφωνία με τον κύκλο ημέρας - νύχτας, που ρυθμίζεται σύμφωνα με τη δομή του φωτός και του σκοταδιού. Η ζωή στη Γη χορεύει στον ηλιακό ρυθμό. Οι κινήσεις του Ήλιου και της σελήνης ως προς τη Γη καθορίζουν το συγχρονισμό των παλιρροιών. Το ύψος της παλίρροιας εξαρτάται επίσης από την τοπική γεωγραφία και τον καιρό. Τι είναι αυτό που προκαλεί τις παλίρροιες ; Καθώς η Γη περιστρέφεται, η βαρύτητα της σελήνης προκαλεί ελαφρά ανύψωση των ωκεανών προς την πλευρά που είναι πιο μακριά από τη σελήνη. Ο λόγος είναι ότι οι παλίρροιες είναι, κατά κύριο λόγο, φαινόμενο που έχει σχέση με πλευρικές κι όχι με κάθετες κινήσεις του νερού. Πολλοί ζωντανοί οργανισμοί - στην ενδοπαλιρροϊκή ζώνη - υπάρχουν μόνο λόγω αυτής της ροής των παλιρροιών, που κάνει κύκλους από την υγρή στην στεγνή φάση και πάλι από την αρχή σχεδόν κάθε 12 ώρες.
Ο εξελιγμένος κόσμος του σήμερα, διαθέτει ισχυρό εξοπλισμό παρατήρησης : τα βλέπουμε σχεδόν όλα. Πρέπει να φανούμε έξυπνοι : το ¨εκεί πάνω " από το "εδώ κάτω " δεν απέχει τόσο πολύ όσο νομίζουμε.
Πηγή στοιχείων : Ίαν Στιούαρτ, " Οι μυστικοί αριθμοί : από το σχήμα της χιονονιφάδας στο σχήμα του σύμπαντος ", Τραυλός 2001.

Τετάρτη, 21 Μαΐου 2008

Η 4η διάσταση

Ο χώρος και ο χρόνος του Νεύτωνα
Ο νευτώνειος χρόνος ήταν διαχωρισμένος από τον χώρο, σα ν' αποτελούσε μια σιδηροδρομική γραμμή η οποία εκτιενόταν επ' άπειρον και προς τις δύο κατευθύνσεις της.
Όταν θέλουμε να ορίσουμε ένα δυναμικό σχήμα, οι τρείς γνωστές μας χωρικές διαστάσεΙς - μήκος, πλάτος, ύψος, δεν είναι αρκετές. Ένα δυναμικό σχήμα εξελίσσεται στον χρόνο. Χρειαζόμαστε λοιπόν και μία τέταρτη, χρονική, η οποία θα περιγράφει την εξέλιξη του σχήματος στον χρόνο.
Τι είναι ο χρόνος ; Κανείς δεν μπορεί στην πραγματικότητα να το πει. Ο Charles Lamp, συγγραφέας του 19ου αιώνα, είχε γράψει : " Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από τον χρόνο και τον χώρο. Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από τον χρόνο και το χώρο, επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι. " Οι περισσότεροι από μας δεν ανησυχούμε για τον χρόνο και τον χώρο τον περισσότερο καιρό, ότι κι αν σημαίνει αυτό, όμως όλοι μερικές φορές αναρωτιόμαστε τι είναι ο χρόνος, πως ξεκίνησε και που μας οδηγεί.
Το 1687, ο Ισαάκ Νεύτων παρουσίασε το πρώτο μαθηματικό μοντέλο για τον χρόνο και τον χρόνο στο έργο του " Philosophiae Naturalis Principia Matematica " ( Μαθηματικές αρχές της φυσικής φιλοσοφίας ).
Στο μοντέλο του, ο χρόνος και ο χώρος συνιστούσαν ένα υπόβαθρο όπου διαδραματιζόταν τα γεγονότα, το οποίο όμως δεν επηρεαζόταν από αυτά. Ο χώρος ήταν διαχωρισμένος από το χώρο και θεωρούνταν ως μία ανεξάρτητη γραμμή, κάτι σαν σιδηροδρομική γραμμή, η οποία εκτεινόταν επ' άπειρον και προς τις δύο κατευθύνσεις της ( πάνω ). Θεωρούνταν επίσης παντοτινός, υπό την έννοια ότι είχε υπάρξει από πάντα και θα υπήρχε για πάντα.
.
Ο χώρος και ο χρόνος του Αϊνστάιν
Η θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν, η οποία βρίσκεται σε συμφωνία με τ' αποτελέσματα μεγάλου πλήθους πειραμάτων, καταδεικνύει ότι ο χώρος και ο χρόνος είναι άρρηκτα συνδεδεμένοι. Ο χώρος δεν μπορεί να καμπυλωθεί χωρίς να εμπλακεί σ' αυτό ο χρόνος. Άρα, ο χρόνος έχει σχήμα. Φαίνεται, ωστόσο, ότι ο χρόνος ρέει προς μία μόνο κατεύθυνση - όπως οι ατμομηχανές της εικόνας.
Το 1915, ο Άλμπερτ Αϊνστάιν πρότεινε ένα εντελώς νέο μαθηματικό μοντέλο για τον χώρο και τον χρόνο : τη γενική θεωρία της σχετικότητας.
Η γενική θεωρία της σχετικότητας συνδυάζει τη διάσταση του χρόνου με τις τρείς διαστάσεις του χώρου για να σχηματίσει τον επονομαζόμενο χωροχρόνο ( πάνω ). Το φαινόμενο της βαρύτητας ενσωματώνεται στη θεωρία μέσω της θεώρησης ότι η κατανομή ύλης και ενέργειας ατο Σύμπαν στρεβλώνει το χωροχρόνο με αποτέλεσμα αυτός να μην είναι επίπεδος. Τα αντικείμενα μέσα στον χωροχρόνο τείνουν να κινηθούν κατά μήκος ευθείων γραμμών, επειδή όμως αυτός είναι καμπυλωμένος, οι διαδρομές τους εμφανίζονται κυρτωμένες. Μέσα στο χωροχρόνο, τα αντικείμενα κινούνται σαν να επηρεάζονται από ένα βαρυτικό πεδίο.
Η γενική σχετικότητα επιβεβαιώθηκε με θεαματικό τρόπο το 1919, όταν μια βρετανική αποστολή στη δυτική Αφρική παρατήρησε, κατά τη διάρκεια κάποιοας έκλειψης, μια μικρή κύρτωση των φωτεινών ακτίνων που διερχόταν κοντά από τον Ήλιο. Η εν λόγω παρατήρηση αποτελούσε σαφή ένδειξη ότι ο χώρος και ο χρόνος είναι στρεβλωμένοι - ιδέα που πυροδότησε τη μεγαλύτερη αλλαγή στην αντίληψή μας για το Σύμπαν το οποίο ενοικούμε από την εποχή που ο Ευκλείδης συνέγραψε τα Στοιχεία, γύρω στο 300π. Χ.

Το τηλεσκόπιο Hooker
Το τηλεσκόπιο Hooker, με κάτοπτρο διαμέτρου 2.56 μέτρων, το οποίο βρίσκεται στο αστεροσκοπείο του Όρους Ουϊλσον, στην Καλιφόρνια.
Η γενική θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν μετέτρεψε τον χώρο και τον χρόνο από παθητικό υπόβαθρο στο οποίο λάμβαναν χώρα τα γεγονότα σε ενεργούς μετόχους της δυναμικής του Σύμπαντος. Αυτό φώτισε ένα μεγάλο πρόβλημα, το οποίο παραμένει στην πρώτη γραμμή της φυσικής του 21ου αιώνα.
Το Σύμπαν είναι γεμάτο με ύλη, και η ύλη στρεβλώνει τον χωροχρόνο έτσι ώστε τα σώματα να πλησιάζουν το ένα το άλλο. Ο Αϊνστάιν βρήκε ότι οι λύσεις στις εξισώσεις του δεν περιέγραφαν ένα στατικό κι αμετάβλητο Σύμπαν : καταδείκνυαν αντίθετα ότι ο χρόνος, άρα και το ίδιο το Σύμπαν, έπρεπε να είχαν μια ελάχιστη ή μέγιστη τιμή, με άλλα λόγια μια αρχή ή ένα τέλος. Αντί όμως ν' απορρίψει αυτό το παντοτινό σύμπαν - για την ύπαρξη του οποίου η πεποίθηση τόσο του ιδίου όσο και των περισσότερων ήταν πολύ ισχυρή, - τροποποίησε τις εξισώσεις προσθέτοντας έναν όρο τον οποίο ονόμασε κοσμολογική σταθερά. Ο όρος αυτός στρέβλωνε το χωροχρόνο κατά την αντίθετη έννοια, έτσι ώστε τα σώματα ν' απομακρύνονται μεταξύ τους. Η απωστική δράση της κοσμολογικής σταθεράς μπορούσε να εξισορροπήσει την ελκτική δράση της ύλης, επιτρέποντας κατ' αυτόν τον τρόπο, μια στατική λύση για το Σύμπαν.
Το γεγονός αποτέλεσε μία από τις χαμένες μεγάλες ευκαιρίες της θεωρητικής φυσικής. Αν ο Αϊνστάιν είχε μείνει πιστός στις αρχικές εξισώσεις του, θα μπορούσε να είχε προβλέψει ότι το Σύμπαν θα πρέπει είτε να διαστέλλεται είτε να συστέλλεται. Όπως είχαν τα πράγματα, η προοπτική ενός χρονοεξαρτώμενου Σύμπαντος δεν λαμβανόταν σοβαρά υπόψη μέχρις ότου, κατά τη δεκαετία του 1920, πραγματοποιήθηκαν παρατηρήσεις από το διαμέτρου 2.56 μ. τηλεσκόπιο του Όρους Ουϊλσον.
.

Η διαστολή του σύμπαντος

Παρατηρήσεις των γαλαξιών υποδεικνύουν ότι το σύμπαν διαστέλλετσι : η απόσταση μεταξύ δύο σχεδόν οποιωνδήποτε γαλαξιών διαρκώς αυξάνει.
Οι παρατηρήσεις αυτές αποκάλυψαν ότι όσο μακρύτερα βρίσκονται οι άλλοι γαλαξίες από εμάς τόσο ταχύτερα απομακρύνονται. Το Σύμπαν διαστέλλεται με τέτοιον τρόπο ώστε η απόσταση μεταξύ των δύο οποιονδήποτε γαλαξιών ν' αυξάνεται σταθερά με τον χρόνο ( πάνω ). Αυτή η ανακάλυψη ήρε την ανάγκη για μιά κοσμολογική σταθερά η οποία να επιτρέπει την ύπαρξη στατικής λύσης για το Σύμπαν. Ο Αϊνστάιν χαρακτήρισε αργότερα την κοσμολογική σταθερά ως το μεγαλύτερο σφάλμα της ζωής του. Ωστόσο, σήμερα διαφαίνεται ότι η επιλογή του μάλλον δεν ήταν εντελώς λανθασμένη : πρόσφατες παρατηρήσεις, οι οποίες όμως θ' αποτελέσουν θέμα μιας άλλης ενότητας, υποδεικνύουν ότι ενδεχομένως υπάρχει όντως μια μικρή κοσμολογική σταθερά.
Παρότι από την εποχή του Αϊνστάιν μέχρι σήμερα έχουν προστεθεί κάποια νέα στοιχεία, το μοντέλο για το χώρο και το χρόνο ουσιαστικά στηρίζεται στην γενική θεωρία της σχετικότητας. Μεγάλο πλήθος επιστημόνων αναπτύσσουν κι επαληθεύουν τις ιδέες της ριζοσπαστικής αυτής εργασίας του Αϊνστάιν. Μεταξύ αυτών κι ο Stephen Hawking, ο οποίος, στο βιβλίο του απ' όπου άντλησα τα παραπάνω στοιχεία, γράφει : " Πρόκειται για ένα επίπονο έργο και προσωπικά αισθάνομαι υπερήφανος για την δική μου μικρή συνεισφορά στο έργο αυτό."
Πηγή στοιχείων : Stephen Hawking, Το σύμπαν σ' ένα καρυδότσουφλο, Κάτοπτρο 2001.

Δευτέρα, 12 Μαΐου 2008

Κρύσταλλοι

Παγοκρύσταλλοι
Οι παγοκρύσταλλοι δεν κατανέμονται ομοιόμορφα πάνω σε μια ψυχρή επιφάνεια. Σχηματίζουν ένα δάσος από απαστράπτουσες αιχμηρές φτέρες. Τι πολύπλοκες μορφές ! Ο πάγος έχει αναρίθμητες φυσικές μεταμορφώσεις. Ακόμη και στα σύννεφα, δημιουργεί βελόνες, σωλήνες, σφαίρες, κυλίνδρους, χαλάζι και φυσικά, εξαγωνικές χιονονιφάδες.
Το νερό δεν είναι απλώς δύο άτομα υδρογόνου κι ένα άτομο οξυγόνου. Μοιάζει με ομάδα χορευτών. Ο χορός έχει στατιστικές έννοιες, που ονομάζουμε θερμοκρασία, πίεση, κορεσμό. Καθώς παγώνει, αυτές οι έννοιες στήνουν το μοριακό χορό κι ειδικοί συνδυασμοί αλλάζουν συνεχώς τον ρυθμό. Διαχωρισμένα μόρια επανασυνδέονται σχηματίζοντας ένα μικροσκοπικό εξαγωνικό σπόρο, που δεν είναι πια ούτε ούτε ατμός ούτε στερεό. Οι μαθηματικές κανονικότητες της ύλης που τη συγκρατούν δημιουργούν μικροσκοπικά κοσμήματα πάγου, τα μόρια του οποίου λειτουργούν με τέλεια ακρίβεια. Η δομή που φτιάχνουν προδίδει την εξάρτησή της από παγκόσμιους κανόνες, καθώς πρόκειται για ένα εξάγωνο.
Η κίνηση μέσα σ' ένα νέφος καταιγίδας είναι χαοτική, μεταβαλλόμενη από σημείο σε σημείο κι από στιγμή σε στιγμή. Κάθε νιφάδα ακολουθεί την δική της τροχιά, στήνει τη δική της ιστορία, γράφει το δικό της μικροσκοπικό κρυσταλλικό ημερολόγιο μέσα στην καταιγίδα...
Σ' έξι πανομοιότυπα αντίγραφα. Ένα δισεκατομμύριο εξαγωνικοί σπόροι, ένα δισεκατομμύριο ιστορίες, ένα δισεκατομμύριο χιονονιφάδες. Όλες διατηρούν την αρχική εξαπλή συμμετρία τους ενσωματώνοντας στην πορεία κομψή και περίτεχνη διακόσμηση. Την κατάλληλη στιγμή, πέφτουν. Χιονίζει. Οι αφράτοι παγοκρύσταλλοι καλύπτουν έδαφος, θάμνους, δέντρα.
Τι είναι ο πάγος ; Παγωμένο νερό. Τι είναι το νερό ; Σύμφωνα με τη χημεία είναι ένα απλό μόριο που αποτελείται από δύο άτομα υδρογόνου κι ένα άτομο οξυγόνου. Αυτή η απλότητα είναι σκέτη απάτη, διότι το νερό είναι μεν το απλούστερο αλλά είναι και το πιο αινιγματικό υγρό. Αφενός λειτουργεί ως διαλύτης σε πολλές χημικές ουσίες κι αφετέρου είναι ένα από τα απαραίτητα συστατικά της ζωής μας." Μου αρέσει να σκέφτομαι ", γράφει ο Ίαν Στιούαρτ, " ότι εκεί μακριά, στο αχανές σύμπαν, υπάρχουν άλλες μορφές ζωής, διαφορετικές από τη δική μας, αλλά που μοιάζουν με τη γήϊνη στην πολυπλοκότητα και την αυτο - οργάνωσή της. Ίσως να μην κωδικοποιούν τις γενετικές τους πληροφορίες στο DNA, να μην βασίζονται στον άνθρακα, να μην τους είναι απαραίτητη η ατμόσφαιρα ή το νερό. ΄Ισως να μην αποτελούνται από ύλη... Πάντως σήμερα, οι μόνες μορφές ζωής που γνωρίζουμε βασίζονται στις παράξενες ιδιότητες του νερού.
Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η NASA ενδιαφέρεται για την Ευρώπη, τον δορυφόρο του Δία, που όπως φαίνεται δεν μοιάζει με κατάλληλο μέρος για ζωή, καθώς η επιφάνειά της είναι ένα στρώμα πάγου πάχους ενός χιλιομέτρου. Ωστόσο, σύμφωνα με στοιχεία, κάτω από τον πάγο υπάρχει ένας ωκεανός νερού, βάθους εκατό χιλιομέτρων. Αν συμβαίνει κάτιο τέτοιο, στον ωκεανό της Ευρώπης υπάρχει περισσότερο νερό απ' ότι σ' όλους τους ωκεανούς της Γης.
Παλιρροϊκές δυνάμεις από τον Δία αναδεύουν τον πυρήνα της Ευρώπης, τον διατηρούν θερμό κι έτσι υπάρχει επίσης πηγή ενέργειας. Περίπου 4 χιλιόμετρα κάτω από τον πάγο της Ανταρκτικής βρίσκεται θαμένη μία από τις μεγαλύτερες λίμνες της Γης, η λίμνη Βοστόκ. Γνωρίζουμε ότι εκεί υπάρχουν βακτήρια, επομένως γιατί να μην υπάρχουν και κάτω από την επιφάνεια της Ευρώπης ; "
Στο Science daily, ( 15.5.08 ) υπάρχουν οι τελευταίες εξελίξεις γι' αυτό το θέμα :
Το νερό είναι μια παράξενη ουσία. Το συναντάμε ως αέριο ( ατμός ), ως στερεό ( πάγος ) καθώς και ως υγρό. Μόνο η αέρια μορφή του μοιάζει ξεκάθαρη.
.
Η χιονονιφάδα
Ιδωμένη μ' ένα μεγεθυντικό φακό, η ομορφιά της χιονονιφάδας αποκαλύπτεται : ένα μικροσκοπικό γεωμετρικό κόσμημα, μια ζωντανή ένδειξη της περίπλοκης μορφής και της γοητείας που κρύβουν τα σχήματα της φύσης.
Όπως υποδηλώνει κι ο τίτλος του βιβλίου του, ο πρώτος που έθεσε το γρίφο του εξαγωνικού σχήματος της χιονονιφάδας ήταν ο Κέπλερ : " Πρέπει να υπάρχει κάποιος λόγος για τον οποίο, όποτε χιονίζει, οι αρχικοί σχηματισμοί του χιονιού επιδεικνύουν πάντα ένα εξάγωνο σχήμα. Γιατί δεν πέφτουν νιφάδες με πέντε ή επτά γωνίες ; γιατί πάντα με έξι, δεδομένου ότι δεν πέφτουν συμπυκνωμένες, αλλά παραμένουν διάσπαρτες ; "
Έχοντας μεγάλη εμπειρία σχετικά με τα σχήματα της φύσης και τα μαθηματικά τους ανάλογα, ο Κέπλερ έδωσε μια καλή εξήγηση για την εξαπλή συμμετρία της χιονονιφάδας. Γνωρίζοντας ότι το χιόνι αποτελείται από συμπυκνωμένο ατμό, θεώρησε ότι πήζει σε σταγονίδια συγκεκριμένου σχήματος που έχουν επίσης έναν συγκεκριμένο τρόπο επαφής, συμπεραίνοντας ότι : " Το εξαγωνικό σχήμα επιλέγεται από την σχηματική προσαρμογή κι από την αναγκαιότητα της ύλης, έτσι ώστε να μην υπάρχουν κενά και η συγκέντρωση του ατμού σε σχηματισμούς χιονιού να γίνει πιο ομαλά. "
Ακόμη, συνδέοντας την εξαπλή μορφή της χιονονιφάδας με την κρυσταλλική φύση του πάγου, γρήγορα κατευθύνθηκε προς την ιδέα ότι αποτελούνται από μεγάλο αριθμό πανομοιότυπων μικροσκοπικών μονάδων συνταιριασμένων σε σχήματα με κανονικότητα. Ο Κέπλερ δεν γνώριζε την ατομική βάση της ύλης, και παρ' όλο που η έννοια των ατόμων έχει αρχαιολελληνικές ρίζες, μόνο τον τελευταίο αιώνα κατανοήσαμε ότι η συνήθης ύλη αποτελείται από αμέτρητα μικροσκοπικά άτομα. Ο Κέπλερ γνώριζε τις εικασίες των Ελλήνων, ωστόσο ονομάζει σφαιρίδια τις μονάδες που μελέτησε, όχι άτομα.
Στην τελική παράγραφο, όπου συσχετίζει τη γεωμετρική κανονικότητα των χιονονιφάδων με την κανονική γεωμετρία των κρυστάλλων , οδηγείται σε ευρύτερα ερωτήματα για τις κρυσταλλικές δομές : " Η σχηματική προσαρμογή ενδεχομένως αλλάζει με τις μεταβολές του υγρού. Σε θειϊκά άλατα μετάλλων το ρομβοειδές κυβικό σχήμα είναι κοινό, ενώ το νιτρικό κάλλιο έχει το δικό του σχήμα. Συνεπώς, ας αφήσουμε τους χημικούς να μας πουν εάν υπάρχει αλάτι στη χιονονιφάδα και ποιό σχήμα θα έπαιρνε σε διαφορετική περίπτωση ! "
.
Κρύσταλλοι : κανονικά τρισδιάστατα πλέγματα
Οι κρύσταλλοι είναι κανονικές αλλά όχι τελείως κανονικές μορφές. Οι επιστήμονες τους κατανόησαν όταν αγνόησαν το συστατικό υλικό τους ( αυτό καθαυτό ) κι επικεντρώθηκαν στη διάταξή του. Διαθέτουν κανονική γεωμετρία, η οποία αντανακλά την κανονική ατομική δομή τους. Αποτελούνται από πανομοιότυπες μονάδες, σε επαναλαμβανόμενα σχήματα κατά μήκος των τριών χωρικών αξόνων.
Στην εποχή του Κέπλερ, η ιδέα ότι οι κρύσταλλοι έχουν μαθηματική μορφή βρισκόταν σε συνεχή αμφισβήτηση. Όχι αδικαιολόγητα : τα δείγματα κρυστάλλων στη φύση, είναι λιγότερο κανονικά από τα καθαρά πολυεδρικά δείγματα του εργαστηρίου που γνωρίζουμε σήμερα. Κι ενώ λοιπόν έμοιαζε ότι η μορφή των κρυστάλλων παρουσιάζει κανονικά μαθηματικά σχήματα, - ο κρύσταλλος αλατιού π.χ. είναι ένας κύβος - οι ερευνητές ανησυχούσαν μήπως αυτή η κανονική μορφή ήταν μια αυταπάτη.
Η πρόοδος της μελέτης της φύσης και της δομής των κρυστάλλων ήταν αργή, μέχρις ότου, τον 18ο αιώνα, ο γερμανός γεωλόγος Άμπραχαμ Βέρνερ επινόησε ένα σύστημα κατάταξης των ορυκτών που ονόμασε ορυκτογνωσία, το οποίο αναγνώριζε το εκάστοτε ορυκτό ανάλογα με το χρώμα, τη σκληρότητα, την πυκνότητά του κλπ. Από τη στιγμή που οι ορυκτολόγοι ήταν σίγουροι ότι δύο φαινομενικά διαφορετικά είδη ορυκτού ήταν στην πραγματικότητα το ίδιο, αναζητούσαν κανονικότητες. Σύντομα παρατηρήθηκε κανονικότητα στις γωνίες των μεταξύ επίπεδων εδρών των κρυστάλλων. Οι κρύσταλλοι ενός δεδομένου ορυκτού, όσο κατεστραμμένοι και νάναι, εμφανίζουν την ίδια χαρακτηριστική σειρά γωνιών. Η ίδια σειρά εμφανίζεται και σ' άλλα ορυκτά. Οι επιστήμονες μέτρησαν τις γωνίες, απόκτησαν αριθμούς κι αναζήτησαν τις βαθύτερες αιτίες για τα σχήματα των κρυστάλλων. Το σχήμα της χιονονιφάδας έχει παντού γωνίες των 60 και των 120 μοιρών. Γιατί ;
Οι μαθηματικοί που αναζητούσαν σχήματα είχαν αρχίσει να εξερευνούν μια περιοχή πριν ακόμα σιγουρευτούν ότι υπήρχε. Μετά τον Κέπλερ, ο Άγγλος Ρόμπερτ Χούκ, το 1665 στη " Μικρογραφία " του δημοσίευσε εικόνες διατάξεων κύκλων και σφαιρών που μιμούνταν κρυσταλλικές μορφές. Έναν αιώνα αργότερα, ο Ρενέ Ζίστ Αί ( ιερέας κι ερασιτέχνης ορυκτολόγος ) παρατήρησε πως όταν ένας κρύσταλλος ασβεστίτη σπάει, γίνεται κομμάτια σαν στραβά κουτιά, και πρότεινε την αντικατάσταση των σφαιρών του Κέπλερ και του Χούκ από τα κομμάτια αυτού του γενικού σχήματος. Οι κρυσταλλογράφοι κατέβαλλαν αιματηρές προσπάθειες ν' ανακαλύψουν τη φύση των βασικών δομικών λίθων των κρυστάλλων. Αυτοί οι δομικοί λίθοι ήταν τόσο απειροστά μικροί !
Ήλθαν όμως οι μαθηματικοί : αγνόησαν τη σύσταση των δομικών λίθων, και καταπιάστηκαν με τον τρόπο διάταξής τους. Όπως προέκυψε, διατάσσονται σε κανονικά πλέγματα, χωρικά σχήματα στα οποία η βασική μονάδα επαναλαμβάνεται σε τρεις διαφορετικές διευθύνσεις. Υποθέστε ότι γεμίζετε το χώρο με κύβους τοποθετημένους σε τρείς διευθύνσεις : βορρά, ανατολή, πάνω. Αυτή η προσέγγιση οδήγησε σε μια κατάταξη των δυνατών συμμετριών των κρυστάλλων, η οποία έδωσε απάντηση στην απορία των κρυσταλλογράφων περί της φύσεως των βασικών δομικών λίθων των κρυστάλλων. Όπως αποδείχθηκε, επρόκειτο για σωματίδια ύλης τόσο μικροσκοπικά που μέχρι πρόσφατα ήταν αόρατα ακόμη και με το ισχυρότερο μικροσκόπιο. Ιδού μια αξιοσημείωτη περίπτωση καθαρών μαθηματικών - καταλήγει ο μαθηματικός Ίαν Στιούαρτ - που οδηγεί σε μια σημαντική επανάσταση στη φυσική.

Το αλάτι
Η δομή του μαγειρικού αλατιού : αριστερά, μια ανεπτυγμένη εικόνα του και δεξιά ολόκληρη η δομική του μονάδα. Αυτό το πρότυπο συνεχίζεται δυνητικά επ' άπειρον, και τερματίζεται μόνο στην ακμή του κρυστάλλου. Κάθε κατιόν * νατρίου ( οι μικρές σφαίρες ) έρχεται σε επαφή με έξι ανιόντα χλωρίου ( οι μεγάλες σφαίρες ) κι αντίστροφα.
* Ιόν είναι ένα άτομο που έχει προσλάβει ή απολέσει ηλεκτρόνια. Τα ηλεκτρόνια είναι αρνητικά φορτισμένα θεμελιώδη σωματίδια τα οποία ευθύνονται εν πολλοίς για τις χημικές ιδιότητες του ατόμου. Όταν ένα άτομο χάνει ηλεκτρόνια, φορτίζεται θετικά, με μία, δύο, ή τρείς μονάδες θετικού φορτίου, ανάλογα με το αν έχει απολέσει ένα ή δύο ή τρία από τα ηλεκτρόνιά του. Τα θετικά φορτισμένα ιόντα ονομάζονται κατιόντα.
Όταν ένα άτομο προσλαμβάνει ηλεκτρόνια, φορτίζεται αρνητικά. Ένα επιπλέον ηλεκτρόνιο του προσδίδει μία μονάδα αρνητικού φορτίου , δύο επιπλέον μονάδες σημαίνουν δύο μονάδες αρνητικού φορτίου κ.ο.κ. Τα αρνητικά φορτισμένα ιόντα ονομάζονται ανιόντα. Ιόν στα αρχαία ελληνικά σημαίνει " κινούμενο " και τα προθέματα " κατ- " και " αν - " προέρχονται από τις ελληνικές λέξεις " κάτω" και " άνω ".
Τα άτομα συνδέονται μεταξύ τους με δεσμούς : Άτομα που έχουν ευκολία να παραχωρήσουν ηλεκτρόνια, συνδέονται με άτομα που μπορούν να προσλάβουν ηλεκτρόνια. Ο δεσμός αυτός απορρέει από την έλξη μεταξύ των ετερώνυμων φορτίων του κατιόντος και του ανιόντος και ονομάζεται ιοντικό στερεό. Ένα τέτοιο στερεό είναι και το μαγειρικό αλάτι. Γενικότερα, τα ιοντικά στερεά έχουν ποικίλα κοινά χαρακτηριστικά, κι έτσι είναι εύκολο να τα αναγνωρίσουμε στον πραγματικό κόσμο.
Επειδή είναι ισχυρά συσσωματώματα ιόντων που στοιβάζονται ασφυκτικά το ένα δίπλα στο άλλο, είναι άκαμπτα, εύθραυστα στερεά, αποτελούν το σκληρό πρόσωπο της φύσης. Είναι οι ενώσεις που συνάπτονται στον πυρήνα της γης και στα βραχώδη τοπία της. Οι ενώσεις αυτές είναι εξαιρετικά σταθερές και διαρκούν για αιώνες.
.
Το ζαφείρι
Το αργίλλιο, αλουμίνιο όπως λέγεται κι αλλοιώς, μετά το οξυγόνο και το πυρίτιο, είναι το τρίτο στοιχείο σε φυσική αφθονία στο στερεό φλοιό της Γης ( 8.3 % ) και το πρώτο από τα μέταλλα. Το αργίλλιο βρίσκεται στη φύση στα πυριτικά ορυκτά όπως είναι π.χ. η άργιλλος, ο μαρμαρυγίας, ο αμίαντος κλπ. Συναντάται επίσης με τη μορφή του οξειδίου του, που ονομάζεται κορούνδιο.
Οι σκληροί και λαμπεροί έγχρωμοι πολύτιμοι λίθοι είναι κορούνδιο, όπου μερικά ιόντα του αλουμινίου στο κρυσταλλικό πλέγμα έχουν αντικατασταθεί από κατιόντα μετάλλων π.χ. το ρουμπίνι ( κόκκινο χρώμιο ), ο αμέθυστος ( ιώδες χρώμιο και θάλλιο ), το ζαφείρι ( μπλέ σίδηρος και θάλλιο )το τοπάζι ( σίδηρος ) κ.α. Οι πολύτιμοι λίθοι μπορούν να παρασκευασθούν τεχνητά από το κορούνδιο με προσθήκη προσμίξεων σε υψηλή θερμοκρασία.
Από βιομηχανική άποψη, τα σπουδαιότερα ορυκτά του αργιλλίου είναι ο βωξίτης και ο κρυόλιθος. Η εξαγωγή αργιλλίου από τον βωξίτη παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον για την Ελλάδα. Με πρώτη ύλη του βωξίτες Παρνασσού παράγεται μεταλλικό αργίλλιο στις εγκαταστάσεις της " Αλουμίνιο της Ελλάδας " στον Άγ. Νικόλαο Βοιωτίας.
Ανακύκλωση του αργιλλίου : Στην παραγωγή του αργιλλίου, χρειάζονται τεράστιες ποσότητες ηλεκτρρικού ρεύματος με αποτέλεσμα η επιβάρυνση του περιβάλλοντος να είναι πολύ σοβαρή. Από την άλλη πλευρά όμως το αργίλλιο μπορεί ν' ανακυκλωθεί εύκολα, χωρίς να χειροτερέψει η ποιότητά του. Στην ανακύκλωση χρησιμοποιείται μόνο το 5% της ενέργειας που χρειάζεται η μαζική παραγωγή. Επομένως, η ανακύκλωση συμφέρει.
.
Ρυτό από ορεία κρύσταλλο
Αρχαιολογικό Μουσείο Ηρακλείου
Το πυρίτιο ενωμένο με το οξυγόνο σε μία από τις ευγενέστερες μακροσκοπικές τους εμφανίσεις.
.
Ο κασσίτερος
Το αντικείμενο αυτό είναι κατασκευασμένο από καθαρό κασσίτερο. Αρχαία ευρήματα δείχνουν ότι ο κασσίτερος είναι γνωστός στον άνθρωπο από αρχαιοτάτων χρόνων. Μνημονεύεται στον Όμηρο αλλά και από την Παλαιά Διαθήκη.Το ελληνικό όνομα κασσίτερος, σημαίνει " μέταλλο από τη χώρα των Κασσιτερίδων. " Οι Κασσιτερίδες Νήσοι " ή Νήσοι του κασσιτέρου " ήταν πιθανόν τα σημερινά Βρεττανικά νησιά από τα οποία κατά την αρχαιότητα οι έμποροι ( κυρίως οι Καρχηδόνιοι ) προμηθευόταν τον κασσίτερο.
.
Ο κασσιτερίτης
Ο κασσίτερος κατέχει την 48η θέση μεταξύ των στοιχείων. Το κυριότερο ορυκτό του είναι ο κασσιτερίτης από τον οποίο εξάγεται το μέταλλο, αφού καθαριστεί από τις γαιώδεις προσμίξεις και υποβληθεί σε χημικές και θερμικές διαδικασίες. Το μέταλλο που λαμβάνεται στο τέλος των διαδικασιών αυτών είναι αργυρόλευκο, μαλακό κι εύκαμπτο. Σε συνηθισμένες θερμοκρασίες έχει δομή πυκνότατης συσσώρευσης, κάτω όμως από 13,2 βαθμούς C, μετατρέπεται σε πολυμορφική μορφή ανάλογη του αδάμαντα, στην οποία τα άτομα είναι τετραεδρικά διατεταγμένα.
Ο κασσίτερος χρησιμοποιείται στην κεραμική και την υαλουργία. Λόγω της αντίστασης στην οξείδωση καθώς και του μη τοξικού χαρακτήρα του χρησιμοποιείται ευρύτατα στην βιομηχανία τροφίμων ( υλικά συσκευασίας ) καθώς και για επιμεταλλώσεις.
Κράματα του κασσίτερου βρίσκουν πολλές εφαρμογές : στην συγκόλληση μετάλλων, στην κατασκευή τραίνων και πετρελαιομηχανών, στην κατασκευή μπρούντζων για ελαστικότητα κι αντοχή στη θραύση, στην κατασκευή όπλων, στην κατασκευή οικιακών σκευών κ.α. Κράμα περιεκτικότητας 90 - 95% σε κασσίτερο, που περιέχει μόλυβδο και άλλα στοιχεία, υψηλού κόστους, χρησιμοποιείται για την κατασκευή εκκλησιαστικών οργάνων λόγω των πολύ καλών ακουστικών ιδιοτήτων του. Ένα από αυτά είναι το εκκλησιαστικό όργανο στο Royal Albert Hall στο Λονδίνο που υπολογίζεται ότι περιέχει περίπου 150 τόννους. Χλωριούχες και οργανομεταλλικές ενώσεις του κασσίτερου χρησιμοποιούνται ως " πρόσθετα " σε διάφορα υλικά, όπως π.χ. στο σαπούνι, στο πετρέλαιο, στο πολυβινυχλωρίδιο ( PVC ) κλπ.
Οι κρύσταλλοι διακρίνονται για τα αξιοθαύμαστα σχήματά τους - και τις μαθηματικές ρίζες τους. Για παράδειγμα, ο γύψος σχηματίζει μακριές πρισματικές δομές σαν σχισμένο γυαλί. Ο κρυσταλλικός κασσιτερίτης φτιάχνει αστραφτερές πυραμίδες κι ο μαγνητίτης σχηματίζει γυαλιστερά μαύρα οκτάεδρα.
Ωστόσο, πριν αναπτυχθεί η κρυσταλλογραφία, η περιοχή δηλαδή της επιστήμης που αναδεικνύει την μαθηματική θεωρία της συμμετρίας, αναρίθμητες ανωμαλίες έκρυβαν τις καθαρές και κανονικές μορφές με τις οποίες συνδέουμε σήμερα τους κρυστάλλους. Ο φθορίτης π.χ., σχηματίζει μεμονωμένους κύβους, αλλά πολλές φορές αρκετοί κύβοι αναπτύσσονται ο ένας μέσα στον άλλον σε περίεργες γωνίες ( διδυμοτοκία ), προκειμένου να δημιουργήσουν ένα σχήμα με μεγαλύτερη συμμετρία από το κανονικό. Τελικά, ο διπλός κρύσταλλος παρουσιάζει λιγότερη συμμετρία από έναν που θα αναπτυσσόταν μόνος του. Όμως συχνά, συμβαίνει και το αντίθετο, οπότε έχουμε το φαινόμενο της ψευδοσυμμετρίας.
Το κύριο συστατικό της μαθηματικής θεωρίας για τους κρυστάλλους, είναι η συμμετρία. Όχι η συμμετρία του απτού ορυκτού, αλλά η συμμετρία της μικροσκοπικής δομής του, η διάταξη των ατόμων του. Στο ατομικό επίπεδο, ένας κρύσταλλος μοιάζει με τοίχο επενδεδυμένο με πλακάκια, με τη διαφορά ότι τα πλακάκια είναι διαμορφώσεις ατόμων και είναι διατεταγμένα σε τρείς διαστάσεις αντί για δύο. Μέσω συναρμογής πολλών αντιγράφων της ίδιας βασικής μονάδας, κατασκευάζεται στο χώρο ένα κανονικό πλέγμα που παρουσιάζει γεωμετρικές κανονικότητες ( επίπεδα που τέμνονται ) με πολυάριθμες συμμετρίες. Η κανονική γεωμετρία των κρυστάλλων θέτει περιορισμούς στις γωνίες των εδρών τους κι αποτελεί ένδειξη για τις φυσικές τους ιδιότητες. Όλ' αυτά προβλημάτισαν τους πρώϊμους κρυσταλλογράφους.
Από τις συμμετρίες ενός κρυσταλλικού πλέγματος προκύπτουν δύο είδη : πρώτον μεταθέσεις πλέγματος που δίνουν μιά διάταξη ( σκελετό ) για να στηριχτεί ένα επαναλαμβανόμενο σχέδιο και δεύτερον συμμετρίες της ίδιας της διάταξης. Έτσι, το πρόβλημα ταξινόμησης της συμμετρίας χωρίζεται σε δύο μέρη. Πρώτα θεωρούμε μόνο τα πλέγματα και κατόπιν τα διακοσμούμε με συμμετρικά σχέδια, που στην περίπτωση των κρυστάλλων είναι διατάξεις ατόμων. Υπάρχουν πέντε είδη δισδιάστατου πλέγματος που βασίζονται στο παραλληλόγραμμο, το ορθογώνιο, το ρόμβο, το τετράγωνο ή το εξάγωνο. Υπάρχουν 14 είδη συμμετρίας του τρισδιάστατου πλέγματος, γνωστά ως πλέγματα Μπραβέ. Για κάθε είδος είναι απαραίτητη η ξεχωριστή ανάλυση των δυνατών ειδών σχεδίου. Αν συνδυαστούν, έχουμε συνολικά 230 δυνατότητες.

Ο γραφίτης

Το πλέγμα του γραφίτη, (μορφή άνθρακα), αποτελείται από παράλληλες κερήθρες, μ' ένα άτομο άνθρακα σε κάθε γωνία. Αυτά τα επίπεδα γλιστρούν εύκολα το ένα πάνω από το άλλο, γι' αυτό ο γραφίτης είναι μαλακός. Το διαμάντι, ( κρυσταλλικός άνθρακας ) έχει διαφορετικό πλέγμα και γι' αυτό είναι πολύ σκληρό.

Το διαμάντι
Όταν η κατάσταση της ύλης αλλάζει με θεαματικό τρόπο, τότε συμβαίνει μια μεταβολή φάσης. Υπό τεράστια πίεση, ώστε να υπερπηδηθεί ο φραγμός ενέργειας μεταξύ των δύο καταστάσεων, ο γραφίτης μπορεί να μεταβληθεί σε διαμάντι.
Η κρυσταλλοποίηση είναι μια μεταβολή φάσης. Συμβαίνει όταν ένα λιωμένο στερεό ψύχεται ή όταν ένα στερεό διαλύεται σε υγρό το οποίο εξατμίζεται. Μια δεδομένη ουσία μπορεί να έχει πολλές στερεές φάσεις, ανάλογα ( ή όχι ) με τη συμμετρία των ατόμων της.
Για παράδειγμα, ο άνθρακας κρυσταλλοποιείται σε γραφίτη ( μαλακός και μαύρος, μοιάζει με βρομιά κι έχει ανάλογη εξία ) ή σε διαμάντι ( σκληρό, διαφανές και γελοιωδώς πανάκριβο ). Η διαφορά δεν έγκειται στα άτομα - τόσο ο γραφίτης όσο και το διαμάντι είναι καθαρός άνθρακας, αλλά στη διάταξή τους. Στο διαμάντι, κάθε άτομο άνθρακα είναι ισχυρά δέσμιο μαζί με άλλα τέσσερα, σ' ένα κανονικό τετραεδρικό σχήμα. Τα άτομα κολλούν σχηματίζοντας ένα κυβικό πλέγμα - μια πολύ ευσταθή δομή. Στο γραφίτη κάθε άτομο άνθρακα είναι ισχυρά δέσμιο μαζί με άλλα τρία σ' ένα επίπεδο εξαγωνικό πλέγμα κι ασθενώς μ' ένα τέταρτο. Τα άτομα σχηματίζουν παράλληλα στρώματα που γλιστρούν εύκολα το ένα πάνω στο άλλο, φτιάχνοντας μια λιγότερο ευσταθή δομή. Έτσι, ο γραφίτης είναι μαλακός και αντίστοιχα, ο πάγος είναι κρυσταλλωμένο νερό.
Καθώς η θερμοκρασία του νερού πέφτει κάτω από το σημείο ψύξης ( Ο βαθμοί C ), το υγρό μετατρέπεται σε στερεό. Μια μικρή μεταβολή στη θερμοκρασία προκαλεί μια μεγάλη ποιοτική διαφορά στη μοριακή δομή του νερού και τις φυσικές του ιδιότητες. Υπάρχει ακόμα μια μεγάλη μεταβολή αυτού του είδους : ο βρασμός. Αν η θερμοκρασία του νερού ξεπεράσει το σημείο βρασμού ( 100 βαθμοί C ) , το νερό γίνεται ατμός. Οι μεταβολές φάσης είναι μεγάλες, πολύπλοκες και θεαματικές αλλαγές, διότι περιλαμβάνουν την συνολική συμπεριφορά τεράστιου αριθμού ατόμων που αποτελούν ολόκληρο το σώμα.

Η κρυσταλλική δομή της χιονονιφάδας
Το ατομικό πλέγμα του πάγου μοιάζει με στοίβα εξαγωνικών πρισμάτων. Η εξαπλή συμμετρία αυτού του πλέγματος ευθύνεται για την εξαπλή συμμετρία της χιονονιφάδας.
Ένα μόριο νερού είναι ένα τετράεδρο μ' ένα μόριο οξυγόνου στο κέντρο του. Στις 2 κορυφές του τετραέδρου βρίσκονται δύο άτομα υδρογόνου ενώ οι άλλες δύο είναι κενές. Στον παγοκρύσταλλο, αυτά τα τετράεδρα διατάσσονται σ' ένα κανονικό σχήμα. Το πλέγμα του πάγου, αυτό που έχει σχέση με τις χιονονιφάδες, αποτελείται σε πρώτη προσέγγιση, από διαδοχικές στρώσεις εξαγωνικών πρισμάτων, όπου τα άτομα του οξυγόνου βρίσκονται στις γωνίες των επιμέρους εξαγώνων ενώ τα άτομα του υδρογόνου περίπου στο ένα τρίτο των ακμών.
Όταν οι στρώσεις αυτές παρατηρηθούν μετωπικά, φαίνονται σαν μακριές εξαγωνικές σήραγγες που μοιάζουν με κερήθρα. Οι στρώσεις είναι διατεταγμένες χωρίς πλευρική μετατόπιση των εξαγώνων και τα εξαγωνικά άκρα των πρισμάτων εφάπτονται.Οι επίπεδες στρώσεις ολισθαίνουν εύκολα η μία πάνω στην άλλη - ο πάγος γλιστράει. Επίσης, οι παγοκρύσταλλοι αναπτύσσονται ταχύτερα κατά μήκος αυτών των επίπεδων στρώσεων, επειδή υπάρχουν δύο θέσεις για να τοποθετήσουμε ένα άτομο υδρογόνου στο εσωτερικό μιας στρώσης αλλά μόνο μία θέση κάθετα στη στρώση. Γι' αυτό το λόγο, ένας παγοκρύσταλλος εμφανίζει αρχικά επίπεδο εξαγωνικό σχήμα : ο κανονικός σπόρος από τον οποίο φύεται η διακοσμητική ομορφιά με το σχήμα της φτέρης.

Τα τέσσερα στοιχεία των αρχαίων ελλήνων
Οι αρχαίοι έλληνες γνώριζαν ότι υπάρχουν πέντε κανονικά στερεά σώματα, που παρουσιάζουν μεγάλου βαθμού συμμετρία : το τετράεδρο, ο κύβος, το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο. Ένας κύβος περιστρέφεται κατά πολλαπλάσια των 90 μοιρών γύρω από τους τρείς άξονές του, ώστε να καταλαμβάνει πάντα τον ίδιο χώρο. Οι κρύσταλλοι αποκτούν τα σχήματα ορισμένων κανονικών στερεών σωμάτων, αλλά όχι άλλων. Η τριπλή, η τετραπλή και η εξαπλή συμμετρία είναι κοινές στους κρυστάλλους. Ωστόσο, σχήματα με πενταπλή συμμετρία, όπως το δωδεκάεδρο, είναι απαγορευμένα για ένα κρυσταλλικό πλέγμα.
Το 6 είναι ένας μαγικός αριθμός στην κρυσταλλογραφία. Αποτελεί τον υψηλότερο βαθμό περιστροφικής συμμετρίας για ένα πλέγμα στις δύο ή τις τρεις διαστάσεις. Δισδιάστατα αντικείμενα παρουσιάζουν επταπλή, καθώς και υψηλότερου βαθμού συμμετρία, αλλά δεν είναι κρυσταλλικά πλέγματα. Επίσης, κανένα πλέγμα στις δύο ή τρείς διαστάσεις δεν παρουσιάζει πενταπλή συμμετρία. Οι μοναδικοί βαθμοί περιστροφικής συμμετρίας σε τέτοια πλέγματα είναι οι 2, 3, 4 και 6. Αυτή η δήλωση είναι ο περιβόητος κρυσταλλογραφικός περιορισμός που διατυπώθηκε για πρώτη φορά από τον ερασιτέχνη ορυκτολόγο Ρενέ Ζάστ Χόι στις αρχές του 19ου αιώνα.
Ο Πλάτων γνώριζε, από τις μελέτες των έργων του Ευκλείδη, ότι υπάρχουν ακριβώς 5 κανονικά στερεά σώματα : το τετράεδρο, ο κύβος, το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο. Αυτά είναι σχήματα που οροθετούνται από επίπεδες έδρες, έτσι ώστε κάθε έδρα να είναι ένα κανονικό πολύγωνο, όλες οι έδρες να είναι ίδιες και η διάταξη όλων των εδρών επίσης ίδια. Π.χ. ένας κύβος έχει έξι ίδιες τετράγωνες έδρες και τρείς από αυτές συναντιούνται σε κάθε κορυφή, κάθετα μεταξύ τους.
Ο Πλάτων ασχολήθηκε με τον μυστικισμό των αριθμών και συσχέτισε το τετράεδρο με τη φωτιά, τον κύβο με τη Γη, το οκτάεδρο με τον αέρα και και το εικοσάεδρο με το νερό : τα τέσσερα στοιχεία των αρχαίων. Τι έκανε με το δωδεκάεδρο ; Ο πανούργος φιλόσοφος το συσχέτισε μ' ολόκληρο το σύμπαν.

Κρυσταλλοειδή μαγγανίου - αλουμινίου
Τα κρυσταλλοειδή μαγγανίου - αλουμινίου αποκαλύπτουν, σε " φωτογραφίες " με ακτίνες Χ, την παρουσία της " απαγορευμένης " δωδεκαγωνικής συμμετρίας ( αριστερά ) ενώ στο μεταλλογραφικό μικροσκόπιο φαίνεται η δομή πενταγωνικού δωδεκάεδρου ( πάνω δεξιά ) που αποτυπώνεται και με τη μορφή λουλουδιών ( κάτω δεξιά ).
Οι κρύσταλλοι έχουν σχήμα κύβου, οκτάεδρου και τετράεδρου. Ωστόσο, κανένας κρύσταλλος δεν είναι δωδεκάεδρο ή εικοσάεδρο επειδή ο κρυσταλλογραφικός περιορισμός απαγορεύει την πενταπλή συμμετρία.
Το 1984, ο κρυσταλλογράφος Ντάνιελ Σέχτμαν, μελετώντας με ακτίνες Χ το προϊόν της ταχύτατης ψύξης ενός μίγματος μαγγανίου - αλουμινίου, διαπίστωσε με έκπληξη ότι λάμβανε μια "φωτογραφία " που κανονικά δεν θα έπρεπε να είχε σχηματιστεί, επειδή αποκάλυπτε μια " απαγορευμένη " εικοσάεδρη συμμετρία. Αποδείχθηκε ότι τα άτομα ήταν διατεταγμένα σε μια διάταξη που επαναλαμβανόταν άπειρα αλλά όχι με τέλεια κανονικότητα. Τα σχήματα με πενταπλές περιστροφικές συμμετρίες δεν είναι συμβατικά πλέγματα, τους μοιάζουν όμως πάρα πολύ και λέγονται ημιπλέγματα. Αντίστοιχα, η διάταξή τους λέγεται ημιπεριοδική κι όχι περιοδική.
Το εύρημα αυτό είχε μεγάλη επιστημονική σημασία, αφού σηματοδότησε την ύπαρξη μιας νέας κατηγορίας υλικών με πενταγωνική συμμετρία, που ονομάστηκαν κρυσταλλοειδή ( quasicrystals ) . Μεταγενέστεροι ερευνητές ανακάλυψαν κι άλλα παραδείγματα, όπως σ' ένα κράμα αλουμινίου, λιθίου και χαλκού με έξι άτομα αλουμινίου και τρία λιθίου για κάθε άτομο χαλκού.
Μια καθημερινής χρήσης πρακτική εφαρμογή των κρυσταλλοειδών είναι στα νέα αντικολλητικά τηγάνια, ενώ άλλες δυνατότητές τους έχουν σχέση με τη μικρή θερμική τους αγωγιμότητα. Με τις σύγχρονες τεχνικές, κρυσταλλοειδή μπορούν να σχηματιστούν στην επιφάνεια πολλών μετάλλων, μέσω κατεργασίας τους με ακτίνες λέϊζερ.
Στο Science daily ( 21.5.2008 ) υπάρχει μια είδηση για την ανακάλυψη των φωτονικών κρυστάλλων που παράγει ένα σκαθάρι στη Βραζιλία.
Πηγές στοιχείων : Ίαν Στιούαρτ, " Οι μυστικοί αριθμοί : από το σχήμα της χιονονιφάδας στο σχήμα του σύμπαντος ", Τραυλός 2001, P.W. Atkins, Το περιοδικό βασίλειο, Κάτοπτρο 1996, Συλλογικό, Ανόργανη χημεία : τα στοιχεία, Παπαζήσης 2002, Αναστάσιος Βάρβογλης, Πορτρέτα των χημικών στοιχείων, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης 2001, Νίκος Κλούρας, Η ταυτότητα των χημικών στοιχείων, Τραυλός 2007 κι οι ιστοσελίδες που ήδη αναφέρθηκαν.

Τρίτη, 6 Μαΐου 2008

Τα σχήματα της φύσης - 1

Γιατί οι ζέβρες δεν είναι γκρίζες σ' όλο τους το σώμα ;
O σκώτος ζωολόγος Ντ'Άρσι Τόμσον, στο έργο του " Περί ανάπτυξης και μορφής " γράφει : " Η ζέβρα έχει γραμμώσεις ώστε να βόσκει απαρατήρητη όπως και η τίγρη ώστε να ενεδρεύει στη ζούγκλα, ενώ τα πεταλουδόψαρα και o αγγελιχθύς είναι στολισμένα έτσι ώστε να κρύβονται στους κοραλλιογενείς υφάλους. Ο καστανόξανθος λέων έχει το χρώμα της άμμου, ενώ η λεοπάρδαλη με το διάστικτο τρίχωμά της, καθώς συσπειρώνεται για να εφορμήσει, δεν διαφοροποιείται απο τις κηλίδες του ήλιου πάνω στα πυκνά φυλλώματα."
Η Γη είναι το τέλειο μέρος όταν ψάχνουμε για " σχήματα " - για την ακρίβεια, πρέπει να τα αποκαλούμε μορφώματα . Ενώ το υπόλοιπο ηλιακό σύστημα έχει βράχους - θερμούς, ψυχρούς, αλλά ποτέ τους " κατάλληλους ", ο πλανήτης μας έχει ζώα και φυτά.
Ένα από τα πιο συνηθισμένα σχήματα που " φορούν " τα ζώα, είναι τα " ριγέ ". Οι ρίγες είναι ευδιάκριτες, θεαματικές και αναγνωρίσιμες. Πολλά ζώα όπως οι ζέβρες, οι τίγρεις, τ' αγριογούρουνα και τα ρακούν, έχουν ρίγες, αλλά τις συναντάμε κι αλλού στο ζωϊκό βασίλειο, κυρίως στα κοχύλια. Η συνήθης πεταλίδα έχει γραμμωτό κωνικό σχήμα με μια οπή στην κορυφή σαν τέντα τσίρκου, με φαιές και λευκές γραμμώσεις που ξεκινούν από την κορυφή του κώνου. Το θαλάσσιο γραμμωτό γαστερόποδο που συναντάμε στον Ειρηνικό ωκεανό, διαθέτει γραμμώσεις σε ορθή γωνία προς τις σπείρες του κελύφους του, ενώ οι γραμμώσεις ενός όστρακου της Καραϊβικής είναι παράλληλες στις σπείρες. Αυτές είναι οι δύο αντιπροσωπευτικές διευθύνσεις των γραμμώσεων στα θαλάσσια κοχύλια.
Τα τροπικά ψάρια δίνουν επίσης μεγάλη σημασία στην εμφάνισή τους. Το τροπικό ψάρι grunt έχει έντονες μπλε κυματοειδείς γραμμώσεις σε όλο το λυγερό σώμα του, που πλαισιώνονται από μαύρο χρώμα πάνω σε κίτρινο φόντο. Ο γαλλικός αγγελιχθύς έχει έξι λεπτές κίτρινες γραμμώσεις κάθετες στο θεαματικό μαύρο φόντο του σώματός του. Ο αρχιλοχίας είναι ένα ασημί ψάρι, με πέντε μαύρες ρίγες κάθετες στο σώμα του. Η βλοσυρή σφυρίδα του Νασάου είναι ένα γκρίζο ψάρι με βαθύγκριζες γραμμώσεις που διατρέχουν κυκλικά το σώμα του αλλά γίνονται επιμήκεις κατά μήκος του κεφαλιού του. Το σκιουρόψαρο των υφάλων είναι κόκκινο με λεπτές, επιμήκεις λευκές γραμμώσεις, ενώ η πέρκα της άμμου μοιάζει αναποφάσιστη, καθώς έχει γραμμώσεις σε δύο διευθύνσεις, μπλε λεπτές και επιμήκεις πάνω σε λευκές και μαύρες που τέμνονται κάθετα μεταξύ τους.

Τις ρίγες της θάλασσας τις λέμε κύματα
Ο ανόργανος κόσμος έχει κι αυτός τις δικές του ρίγες. Καθώς ξεδιπλώνονται στην παραλία, τα κύματα παρουσιάζουν μεγάλες παράλληλες γραμμές που σκάνε στην ακτή. Οι γραμμές αυτές, με τις κορυφές και τα κοιλώματά τους, είναι κινούμενες γραμμώσεις.
Οι διεργασίες που οδηγούν στις γενικές κατηγορίες σχημάτων παρουσιάζουν ομοιότητα μεταξύ τους. Στη θάλασσα, η διεργασία είναι ο σχηματισμός των κυμάτων πάνω σ' ένα ομοιόμορφο υπόστρωμα. Το υπόστρωμα είναι η επίπεδη αδιατάρακτη επιφάνεια του νερού και η διεργασία συντελείται από τα θαλάσσια ρεύματα και τους ανέμους. Σε μία ζέβρα, το υπόστρωμα είναι η κατανομή των χρωστικών ουσιών στο τρίχωμά της και η διεργασία συντελείται από τη χημεία. Στη μία περίπτωση βλέπουμε το κύμα λόγω του σχήματός του, ενώ στην άλλη, λόγω του χρώματός του. Από μαθηματική άποψη δεν υπάρχει καμμία ουσιαστική διαφορά.

Σμιλεμένα στην άμμο
Ακόμα και με τα πιο απλά υλικά - τους κόκκους της άμμου - η φύση σμιλεύει κομψοτεχνήματα. Από το χάος της αμμοθύελας αναδύεται η τάξη των αμμόλοφων - γιγάντια κύματα που διατρέχουν την έρημο προχωρώντας το ένα πίσω από το άλλο. Η άμμος της ερήμου δημιουργεί ποικιλία σχημάτων, απλών και περίπλοκων. Οι αμμόλοφοι, - όπως ακριβώς τα μεγάλα κύματα των ωκεανών, σχηματίζουν μικροσκοπικές πτυχώσεις με κορυφές και κοιλώματα. Το μυστήριο που κρύβουν τα μαθηματικά κι η φυσική της άμμου είναι μεγάλο, όμως, κάποια γενικά χαρακτηριστικά των σχημάτων αρχίζουν να γίνονται κατανοητά.
Στα βάθη της ερήμου, τα απλούστερα σχήματα είναι οι εγκάρσιοι αμμόλοφοι - λωρίδες συσσωρευμένες κάθετα στους ανέμους που λυσσομανούν - και οι γραμμικοί αμμόλοφοι - λωρίδες διατεταγμένες υπό γωνία ως προς τους μεταβλητούς ανέμους. Επίσης, συναντάμε λωρίδες σε βράχους. Στην Αυστραλία, υπάρχει το μοιναδικό κοίτασμα στον κόσμο με σπειροειδείς ρίγες. Οι ρίγες στους βράχους, πέρα από την ομορφιά τους, μαρτυρούν την ιστορία τους, καθώς δημιουργούνται από την εναπόθεση, κατά στρώματα, των συστατικών του εδάφους. Αντίθετα, οι ρίγες των κυμάτων και των αμμόλοφων δημιουργούνται καθημερινά, στην διάρκεια μιας πολύ μικρότερης χρονικής κλίμακας.

Ο κροταλίας της ερήμου
Υπάρχουν κι άλλα πράγματα στη ζωή εκτός από τις ρίγες. Για παράδειγμα, οι βούλες. Γιατί οι τίγρεις έχουν ρίγες ενώ οι λεοπάρδαλεις βούλες ; Τα ζώα κάνουν ότι θέλουν με τα στίγματά τους. Τα παραδείσια πουλιά : τι παράξενο φτέρωμα ! Πιθανώς, τα γονίδια του ζώου ή του πουλιού, δίνουν οδηγία στα κύτταρα για τη δημιουργία οποιουδήποτε σχήματος. Το παράξενο είναι ότι τελικά, δεν εμφανίζεται οποιοδήποτε σχήμα. Τα περισσότερα σχήματα προέρχονται από έναν καθιερωμένο κατάλογο απλών μορφών - ρίγες, βούλες, ομοιόμορφες χρωματιστές περιοχές. Όμως, ποιός καθορίζει το περιεχόμενο του καταλόγου ;
Το 1956, ο ειδικός στη μαθηματική λογική Άλαν Τιούρινγκ, μέσα από πολύπλοκες θεωρίες, έδειξε ότι συστήματα χημικών ουσιών που αντιδρούν μεταξύ τους και διαχέονται στους ιστούς δημιουργούν αυθαίρετα σχήματα. Ο Τιούρινγκ ονόμασε αυτές τις χημικές ουσίες μορφογεννήτορες. Στην αρχή, οι ιδέες του ήταν καθαρά θεωρητικές, όμως σύντομα ένα καλό παράδειγμα σχημάτων Τιούρινγκ από τον πραγματικό κόσμο προσέλκυσε την προσοχή των χημικών : η αντίδραση Μπελούσοφ - Ζαμποτίνσκι. Εφαρμόζοντας τις εξισώσεις του, συγκεκριμένες χημικές ουσίες αναμιγνύονται και δημιουργούν θεαματικά σχήματα διαστελλόμενων κύκλων ή αργά στροβιλιζόμενων σπειρών. Αν οι χρωστικές εναποτίθενται σύμφωνα με τις κορυφές και τις κοιλάδες παράλληλων κυμάτων τότε προκύπτουν γρα;μμώσεις, ενώ πιο πολύπλοκα συστήματα συμβαλλόμενων κυμάτων παράγουν κηλίδες κοκ.
Οι πρώϊμες μαθηματικές εξισώσεις του Τιούρινγκ απείχαν από την πραγματική βιολογία ώστε να οδηγήσουν σε ακριβή μοντέλα. Η σύγχρονη γενετική καλύπτει ένα διαφορετικό τμήμα του πάζλ, καθώς εξηγεί την παραγωγή πρωτεϊνών αλλά όχι και τον τρόπο σύνδεσής τους ή το λόγο που η φύση προτιμά μαθηματικά σχήματα. Προφανώς απαιτείται ένας συνδυασμός και των δύο θεωρήσεων.

Η κερήθρα είναι ένα φυσικό θαύμα αρχιτεκτονικής
Τα σχήματα της κερήθρας είναι αρκετά κοινά στον φυσικό κόσμο, αλλά πιο σπάνια από τις ρίγες. Η μαθηματική δομή τους είναι πιο εμφανής, διότι οι κερήθρες αποτελούνται από εξάγωνα και τα εξάγωνα μελετώνται στα βιβλία της γεωμετρίας. Οι κερήθρες παρουσιάζουν ένα κύριο χαρακτηριστικό της δημιουργίας σχημάτων : τη χρήση της ίδιας βασικής μονάδας, που επαναλαμβάνεται. Μια κερήθρα αποτελεί έναν αποτελεσματικό τρόπο να συνταιριάξουν πολλές, πανομοιότυπες, σχεδόν κυκλικές περιοχές κι η φύση έχει πολλούς λόγους να κάνει κάτι τέτοιο. Έτσι, το εξάγωνο και η αντίστοιχη κερήθρα παίζουν κύριο ρόλο στη δημιουργία σχημάτων, τόσο στη φυσική όσο και στη βιολογία.
Οι μέλισσες κατασκευάζουν τις κερήθρες τους σε κάθετη διεύθυνση, με τις εξαγωνικές σήραγγες να τις διατρέχουν οριζόντια, ενώ οι σφήκες τις κατασκευάζουν ακριβώς αντίθετα. Οι γραμμές, η μία πάνω στην άλλη, σχηματίζουν εξάγωνα σε μια δισδιάστατη διάταξη. Τα εξάγωνα αποτελούν μικρούς θαλάμους, ικανούς να φιλοξενήσουν μια προνύμφη ή λίγο μέλι. Πως γίνεται οι μέλισσες και οι σφήκες να είναι τόσο έξυπνες και να κατασκευάζουν τέτοια πράγματα ; Το πιθανότερο είναι ότι κάτι τις βοηθά προσφέροντας ένα αρχικό πλεονέκτημα. Κάποια σχήματα κατασκευάζονται ευκολότερα από άλλα κι αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι κατά βάθος, το σύμπαν υπακούει σε απλούς κανόνες.
Κοντολογίς, οι σφήκες και οι μέλισσες δεν είναι τα μοναδικά όντα που κατασκευάζουν κερήθρες. Ένα μικροσκοπικό ψάρι στη λίμνη Χιούρον των ΗΠΑ, με ισχυρό εδαφικό ένστικτο, σμιλεύει περιοχές σε σχήμα πιάτου διαμέτρου 30 εκατοστών. Εγκαθίσταται στο μέσον κι από κει αποκρούει τους εχθρούς του. Υπάρχουν πολλά τέτοια ψάρια κι οι περιοχές τους είναι τοποθετημένες πολύ κοντά μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα είναι ένα σχήμα κερήθρας. Με πρώτη ματιά κάτι τέτοιο μοιάζει με εκπληκτικό αρχιτεκτονικό επίτευγμα, αλλά πρόκειται για τέχνασμα. Η φράση κλειδί είναι " τοποθετημένες πολύ κοντά". Αν πάρετε πολλούς πανομοιότυπους κύκλους - παραδείγματος χάριν, κέρματα -, τα τοποθετήσετε σ' ένα τραπέζι και τα κινήσετε μέχρι να στριμωχτούν, τότε διατάσσονται σε σχήμα κερήθρας. Στην πράξη, η κερήθρα αυτή δεν είναι εντελώς κανονική, αλλά το ίδιο συμβαίνει και με τις περιοχές των ψαριών και τις κερήθρες των μελισσών.
Πριν από περίπου εκατό χρόνια οι μαθηματικοί απέδειξαν ότι η κερήθρα είναι ο πιό αποτελεσματικός τρόπος για να στριμώξουμε κύκλους στο επίπεδο. Ο κύριος λόγος γι' αυτό είναι ότι έξι κύκλοι ταιριάζουν ακριβώς γύρω από έναν άλλο κύκλο του ίδιου μεγέθους και το σχήμα της κερήθρας επαναλαμβάνει αυτή τη δομή γύρω από κάθε κύκλο. Δημιουργούνται έτσι κανονικά σχήματα μεγάλης κλίμακας υπακούοντας σε απλούς, τοπικούς κανόνες.

Διάταξη κερήθρας
Ο πιο πυκνός τρόπος διάταξης ίσων κύκλων είναι η κερήθρα. Σ' αυτή τη διάταξη, κάθε νόμισμα ακουμπά άλλα έξι. Η πυκνή διάταξη της κερήθρας συναντιέται επίσης στις φολίδες των φιδιών και των σαυρών καθώς είναι ένας αποτελεσματικός τρόπος κάλυψης ενός επιπέδου με σχεδόν κυκλικά σχήματα.
Ο αριθμός 6 έχει μια γνήσια μαθηματική σπουδαιότητα : είναι το " φιλί " στις 2 διαστάσεις. Αν δηλαδή σχεδιάσετε ένα κύκλο στο επίπεδο και προσπαθήσετε να τακτοποιήσετε αρκετούς ίσους κύκλους έτσι ώστε ο καθένας από αυτούς να εφάπτεται ( " φιλάει " ) τον πρώτο και καθένας απ' αυτούς να μην επικαλύπτεται, τότε θα μπορέσετε να συνταιριάξετε ακριβώς έξι κύκλους γύρω από τον πρώτο. Δοκιμάστε το με κέρματα.Στις τρείς διαστάσεις, όπου οι κύκλοι αντικαθίστανται από σφαίρες, το " φιλί " είναι το 12. Προσπαθήστε με μπαλάκια του πίγνκ - πόνγκ. Λίγο δύσκολο, αλλά ίσως τα καταφέρετε. Πάντως, γύρω από ένα κεντρικό μπαλάκι, θα ταιριάξουν 12 μπαλάκια, όχι 13.Οι μαθηματικοί γνωρίζουν το " φιλί " μόνο για δύο ακόμα χωρικές διαστάσεις. Στις 8 διαστάσεις ο αριθμός " φιλί " είναι ο 240, ενώ στις 24 ο 196.560. Πιο λογικές διαστάσεις, όπως 4 ή 5 παραμένουν ακόμα αίνιγμα, θα δούμε όμως τις σφαίρες και τους χώρους υψηλών διαστάσεων στο " Φλάτερλαντ ", ένα άλλο βιβλίο του Ίαν Στιούαρτ.
Επιστροφή στις δύο διαστάσεις. Επειδή οι έξι ασπαζόμενοι κύκλοι ταιριάζουν ακριβώς, μπορούμε να τοποθετήσουμε περισσότερους, ακριβώς με τον ίδιο τρόπο ώστε να ασπάζονται κι αυτοί κι ούτω καθ' εξής. Το αποτέλεσμα είναι ένα σχήμα κερήθρας από ίσους κύκλους, όπου κάθε κύκλος περιβάλλεται από άλλους έξι. Αυτό το σχήμα παρουσιάζει πολλές συμμετρίες. Διαθέτει εξαπλή περιστροφική συμμετρία γύρω από το κέντρο οποιουδήποτε κύκλου. Διαθέτει ανακλαστική συμμετρία ως προς οποιαδήποτε ευθεία διέρχεται από τα κέντρα δύο γειτονικών κύκλων ή ως προς οποιαδήποτε γραμμή εφάπτεται σε δύο γειτονικούς κύκλους στο σημείο επαφής τους. Όχι μόνο αυτό, αλλά διαθέτει και συμμετρίες μετατόπισης : επιλέξτε δύο κύκλους και μετακινήστε ολόκληρο το σχήμα ώστε ο πρώτος κύκλος να μετατεθεί στη θέση του δεύτερου.

Γεωμετρία επισώρευσης ( πακετάρισμα )
Όλοι οι μανάβηδες γνωρίζουν πως να πακετάρουν πορτοκάλια. Είναι συγκλονιστικό ότι οι μαθηματικοί ανάλωσαν περισσότερα από 350 χρόνια για να καταλάβουν ότι οι οπωροπώλες είχαν δίκιο. Στο τέλος του 20ου αιώνα, οι μανάβηδες δικαιώθηκαν... με την βοήθεια υπολογιστών.
Ο γερμανός αστρονόμος Γιοχάνες Κέπλερ ( 1571 - 1630 ), στο βιβλίο του " Περί της εξαγωνικής χιονονιφάδας " που εκδόθηκε το 1611, εξέτασε μεταξύ άλλων, τρόπους επισώρευσης όμοιων σφαιριδίων σε τρεις διαστάσεις : " Η διάταξη θα είναι κυβική και τα σφαιρίδια, όταν ασκηθεί πάνω τους πίεση, θα γίνουν κύβοι. Όμως, αυτή δεν θάναι η πιο σφιχτή επισώρευση. Στη δεύτερη φάση, κάθε σφαιρίδιο εφάπτεται με τα τέσσερα γειτονικά του στο ίδιο επίπεδο, με τέσσερα στο πάνω επίπεδο και με τέσσερα στο κάτω επίπεδο. Συνολικά, κάθε σφαιρίδιο εφάπτεται με δώδεκα, και κάτω από πίεση τα σφαιρίδια γίνονται ρομβοειδή...Η επισώρευση θα είναι η πιο σφιχτή, έτσι ώστε σε καμμία άλλη διάταξη να μην μπορούν να στοιβαχτούν περισσότερα σφαιρίδια στο ίδιο δοχείο."
Πρόκειται για το ολοεδρικά κεντρωμένο κυβικό πλέγμα : τα σημεία του πλέγματος είναι οι κορυφές μιας στοίβας από κύβους και τα κέντρα των εδρών τους. Είναι η διάταξη που χρησιμοποιείται κυρίως από τους οπωροπώλες για το στοίβαγμα των πορτοκαλιών. Ίσως φαίνεται προφανές ότι αυτή πρέπει να είναι η πιο αποτελεσματική επισώρευση σε τρεις διαστάσεις, όμως ήταν δύσκολο να διατυπωθεί μια λογική εξήγηση.
Η εικασία του Κέπλερ, όπως ονομάστηκε τελικά αυτή η αθώα παρατήρηση του μυστικιστή μαθηματικού, αντιστεκόταν μέχρι πριν λίγα χρόνια. Το 1953, ο ούγγρος μαθηματικός Φέγιες Τότ επιχείρησε την απόδειξη, ωστόσο ο υπολογισμός ήταν υπερβολικά μεγάλος ακόμα και για τους σημερινούς υπολογιστές. Η διαίσθηση του Κέπλερ δικαιώθηκε πλήρως το 1998, όταν ο αμερικανός μαθηματικός Τόμας Χέιλ με τη βοήθεια του Σάμιουελ Φέργκιουσον, κατέληξε σ' ένα συμπέρασμα : στο άπειρο επίπεδο , η εξαγωνική επισώρευση είναι καλύτερη από την τετραγωνική. Έτσι, ο καλύτερος τρόπος να στριμώξουμε κύκλους σ' ένα πραγματικά μεγάλο κουτί είναι να το γεμίσουμε με δομή κερήθρας και κατόπιν ν' αυτοσχεδιάσουμε στα κενά κοντά στις πλευρές. Η τελική περιγραφή είναι 250 σελίδες και 3 Gbyte υπολογιστικού κώδικα και δεδομένων, όλα διαθέσιμα στην προσωπική σελίδα του Χέιλς στο Πανεπιστήμιο του Μίσιγκαν.

Γεωμετρία επιστρώσεων
Επίστρωση ενός δαπέδου με κανονικά πολύγωνα : τετράγωνα, εξάγωνα, ισόπλευρα τρίγωνα. Υπάρχουν ακριβώς τρείς τρόποι για να επιτύχουμε κάτι τέτοιο με κανονικά πολύγωνα : να χρησιμοποιήσουμε τέσσερα τετράγωνα, καθένα σε γωνία 90 μοιρών, τρία εξάγωνα, κάθετα σε γωνία 120 μοιρών, ή έξι τρίγωνα, κάθετα σε γωνία 60 μοιρών. Δεν υπάρχει άλλη δυνατότητα επίστρωσης με κανονικά πολύγωνα, διότι οι γωνίες των κοινών κορυφών πρέπει να έχουν άθροισμα 360 μοιρών.
Ένα από τα επιτεύγματα του ανθρώπινου πολιτισμού είναι τα πλακόστρωτα ! Οι Αιγύπτιοι έστρωναν πέτρινες πλάκες σε κανονικά σχήματα, οι αρχαίοι Έλληνες και οι Ρωμαίοι έκαναν παρόμοια σχήματα με τα μωσαϊκά τους. Το απλούστερο σχήμα επίστρωσης είναι μια " σκακιέρα " από ίσα τετράγωνα πλακίδια.
Εκτός από τα τετράγωνα, χρησιμοποιούνται επίσης κανονικά πολύγωνα - σχήματα με ίσες ευθύγραμμες πλευρές και ίσες γωνίες σε κάθε κορυφή. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι ένα κανονικό πολύγωνο με τρείς πλευρές, ένα εξάγωνο είναι ένα πολύγωνο με έξι πλευρές. Τα κανονικά πολύγωνα έχουν οποιοδήποτε αριθμό πλευρών μεγαλύτερο του τρία.
Ποιά κανονικά πολύγωνα θα επιλέγαμε προκειμένου να επιστρώσουμε ένα επίπεδο μόνο μ' ένα σχήμα πλακιδίου ; Ισόπλευρα τρίγωνα, τετράγωνα, εξάγωνα και τίποτε άλλο. Γιατί δεν υπάρχουν άλλες δυνατότητες ; Γιατί όχι πεντάγωνα για παράδειγμα ;
Το κύριο σημείο είναι ότι οι γωνίες σε κάθε κορυφή πρέπει να ταιριάζουν ακριβώς, χωρίς κενά κι επικαλύψεις. Έτσι η κορυφή του πολυγώνου πρέπει να είναι ακέραιος διαιρέτης των 360 μοιρών. Αυτό ισχύει για ισόπλευρα τρίγωνα ( 60 μοίρες, δηλαδή το 1/6 των 360 ), για τετράγωνα ( 90 μοίρες, δηλαδή 1/4 των 360 ) και για εξάγωνα ( 120 μοίρες, δηλαδή 1/3 των 360 ). Όμως δεν ισχύει για πεντάγωνα ( 108 μοίρες ) : τρία πεντάγωνα αφήνουν κενό και τέσσερα επικαλύπτονται. Δεν ισχύει επίσης για οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο με επτά ή περισσότερες πλευρές. Έτσι, αυτές οι τρεις δυνατότητες, που ονομάζονται ψηφίδες, είναι το συνολικό πλήθος.
Αν χρησιμοποιήσουμε διαφορετικά πολύγωνα, η ποικιλία των σχημάτων αυξάνει. Εφαρμόζοντας τις ίδιες θεωρήσεις για το πως ταιριάζουν οι γωνίες, υπάρχουν ακριβώς εννέα ξεχωριστές ημικανονικές επιστρώσεις, που σημαίνει ότι όλα τα πλακίδια είναι κανονικά πολύγωνα, εφάπτονται κορυφή με κορυφή και η διάταξη σε κάθε κορυφή είναι η ίδια. Εφτά από αυτές τις επιστρώσεις είναι ίδιες με τα κατοπτρικά τους είδωλα και οι δύο άλλες εμφανίζονται ως ζεύγος κατοπτρικών ειδώλων.
Για παράδειγμα, αν προσπαθήσουμε να στρώσουμε το μπάνιο μας με οκτάγωνα, βρίσκουμε ότι αφήνουν τετράγωνα κενά που καλύπτονται από τετράγωνα πλακίδια. Ομοίως, εξάγωνα που εφάπτονται κορυφή με κορυφή αφήνουν τριγωνικά κενά. Τα εξάγωνα μπορούν να περικυκλωθούν από εναλλασσόμενα τετράγωνα και τρίγωνα, ενώ τα δωδεκάγωνα από τρίγωνα.
Πηγές στοιχείων : Ίαν Στιούαρτ, Μαθηματικός, " Οι μυστικοί αριθμοί : από το σχήμα της χιονονιφάδας στο σχήμα του σύμπαντος ", Τραυλός 2001, Φωτογραφική κοινότητα.