Τρίτη, 6 Μαΐου 2008

Τα σχήματα της φύσης - 1

Γιατί οι ζέβρες δεν είναι γκρίζες σ' όλο τους το σώμα ;
O σκώτος ζωολόγος Ντ'Άρσι Τόμσον, στο έργο του " Περί ανάπτυξης και μορφής " γράφει : " Η ζέβρα έχει γραμμώσεις ώστε να βόσκει απαρατήρητη όπως και η τίγρη ώστε να ενεδρεύει στη ζούγκλα, ενώ τα πεταλουδόψαρα και o αγγελιχθύς είναι στολισμένα έτσι ώστε να κρύβονται στους κοραλλιογενείς υφάλους. Ο καστανόξανθος λέων έχει το χρώμα της άμμου, ενώ η λεοπάρδαλη με το διάστικτο τρίχωμά της, καθώς συσπειρώνεται για να εφορμήσει, δεν διαφοροποιείται απο τις κηλίδες του ήλιου πάνω στα πυκνά φυλλώματα."
Η Γη είναι το τέλειο μέρος όταν ψάχνουμε για " σχήματα " - για την ακρίβεια, πρέπει να τα αποκαλούμε μορφώματα . Ενώ το υπόλοιπο ηλιακό σύστημα έχει βράχους - θερμούς, ψυχρούς, αλλά ποτέ τους " κατάλληλους ", ο πλανήτης μας έχει ζώα και φυτά.
Ένα από τα πιο συνηθισμένα σχήματα που " φορούν " τα ζώα, είναι τα " ριγέ ". Οι ρίγες είναι ευδιάκριτες, θεαματικές και αναγνωρίσιμες. Πολλά ζώα όπως οι ζέβρες, οι τίγρεις, τ' αγριογούρουνα και τα ρακούν, έχουν ρίγες, αλλά τις συναντάμε κι αλλού στο ζωϊκό βασίλειο, κυρίως στα κοχύλια. Η συνήθης πεταλίδα έχει γραμμωτό κωνικό σχήμα με μια οπή στην κορυφή σαν τέντα τσίρκου, με φαιές και λευκές γραμμώσεις που ξεκινούν από την κορυφή του κώνου. Το θαλάσσιο γραμμωτό γαστερόποδο που συναντάμε στον Ειρηνικό ωκεανό, διαθέτει γραμμώσεις σε ορθή γωνία προς τις σπείρες του κελύφους του, ενώ οι γραμμώσεις ενός όστρακου της Καραϊβικής είναι παράλληλες στις σπείρες. Αυτές είναι οι δύο αντιπροσωπευτικές διευθύνσεις των γραμμώσεων στα θαλάσσια κοχύλια.
Τα τροπικά ψάρια δίνουν επίσης μεγάλη σημασία στην εμφάνισή τους. Το τροπικό ψάρι grunt έχει έντονες μπλε κυματοειδείς γραμμώσεις σε όλο το λυγερό σώμα του, που πλαισιώνονται από μαύρο χρώμα πάνω σε κίτρινο φόντο. Ο γαλλικός αγγελιχθύς έχει έξι λεπτές κίτρινες γραμμώσεις κάθετες στο θεαματικό μαύρο φόντο του σώματός του. Ο αρχιλοχίας είναι ένα ασημί ψάρι, με πέντε μαύρες ρίγες κάθετες στο σώμα του. Η βλοσυρή σφυρίδα του Νασάου είναι ένα γκρίζο ψάρι με βαθύγκριζες γραμμώσεις που διατρέχουν κυκλικά το σώμα του αλλά γίνονται επιμήκεις κατά μήκος του κεφαλιού του. Το σκιουρόψαρο των υφάλων είναι κόκκινο με λεπτές, επιμήκεις λευκές γραμμώσεις, ενώ η πέρκα της άμμου μοιάζει αναποφάσιστη, καθώς έχει γραμμώσεις σε δύο διευθύνσεις, μπλε λεπτές και επιμήκεις πάνω σε λευκές και μαύρες που τέμνονται κάθετα μεταξύ τους.

Τις ρίγες της θάλασσας τις λέμε κύματα
Ο ανόργανος κόσμος έχει κι αυτός τις δικές του ρίγες. Καθώς ξεδιπλώνονται στην παραλία, τα κύματα παρουσιάζουν μεγάλες παράλληλες γραμμές που σκάνε στην ακτή. Οι γραμμές αυτές, με τις κορυφές και τα κοιλώματά τους, είναι κινούμενες γραμμώσεις.
Οι διεργασίες που οδηγούν στις γενικές κατηγορίες σχημάτων παρουσιάζουν ομοιότητα μεταξύ τους. Στη θάλασσα, η διεργασία είναι ο σχηματισμός των κυμάτων πάνω σ' ένα ομοιόμορφο υπόστρωμα. Το υπόστρωμα είναι η επίπεδη αδιατάρακτη επιφάνεια του νερού και η διεργασία συντελείται από τα θαλάσσια ρεύματα και τους ανέμους. Σε μία ζέβρα, το υπόστρωμα είναι η κατανομή των χρωστικών ουσιών στο τρίχωμά της και η διεργασία συντελείται από τη χημεία. Στη μία περίπτωση βλέπουμε το κύμα λόγω του σχήματός του, ενώ στην άλλη, λόγω του χρώματός του. Από μαθηματική άποψη δεν υπάρχει καμμία ουσιαστική διαφορά.

Σμιλεμένα στην άμμο
Ακόμα και με τα πιο απλά υλικά - τους κόκκους της άμμου - η φύση σμιλεύει κομψοτεχνήματα. Από το χάος της αμμοθύελας αναδύεται η τάξη των αμμόλοφων - γιγάντια κύματα που διατρέχουν την έρημο προχωρώντας το ένα πίσω από το άλλο. Η άμμος της ερήμου δημιουργεί ποικιλία σχημάτων, απλών και περίπλοκων. Οι αμμόλοφοι, - όπως ακριβώς τα μεγάλα κύματα των ωκεανών, σχηματίζουν μικροσκοπικές πτυχώσεις με κορυφές και κοιλώματα. Το μυστήριο που κρύβουν τα μαθηματικά κι η φυσική της άμμου είναι μεγάλο, όμως, κάποια γενικά χαρακτηριστικά των σχημάτων αρχίζουν να γίνονται κατανοητά.
Στα βάθη της ερήμου, τα απλούστερα σχήματα είναι οι εγκάρσιοι αμμόλοφοι - λωρίδες συσσωρευμένες κάθετα στους ανέμους που λυσσομανούν - και οι γραμμικοί αμμόλοφοι - λωρίδες διατεταγμένες υπό γωνία ως προς τους μεταβλητούς ανέμους. Επίσης, συναντάμε λωρίδες σε βράχους. Στην Αυστραλία, υπάρχει το μοιναδικό κοίτασμα στον κόσμο με σπειροειδείς ρίγες. Οι ρίγες στους βράχους, πέρα από την ομορφιά τους, μαρτυρούν την ιστορία τους, καθώς δημιουργούνται από την εναπόθεση, κατά στρώματα, των συστατικών του εδάφους. Αντίθετα, οι ρίγες των κυμάτων και των αμμόλοφων δημιουργούνται καθημερινά, στην διάρκεια μιας πολύ μικρότερης χρονικής κλίμακας.

Ο κροταλίας της ερήμου
Υπάρχουν κι άλλα πράγματα στη ζωή εκτός από τις ρίγες. Για παράδειγμα, οι βούλες. Γιατί οι τίγρεις έχουν ρίγες ενώ οι λεοπάρδαλεις βούλες ; Τα ζώα κάνουν ότι θέλουν με τα στίγματά τους. Τα παραδείσια πουλιά : τι παράξενο φτέρωμα ! Πιθανώς, τα γονίδια του ζώου ή του πουλιού, δίνουν οδηγία στα κύτταρα για τη δημιουργία οποιουδήποτε σχήματος. Το παράξενο είναι ότι τελικά, δεν εμφανίζεται οποιοδήποτε σχήμα. Τα περισσότερα σχήματα προέρχονται από έναν καθιερωμένο κατάλογο απλών μορφών - ρίγες, βούλες, ομοιόμορφες χρωματιστές περιοχές. Όμως, ποιός καθορίζει το περιεχόμενο του καταλόγου ;
Το 1956, ο ειδικός στη μαθηματική λογική Άλαν Τιούρινγκ, μέσα από πολύπλοκες θεωρίες, έδειξε ότι συστήματα χημικών ουσιών που αντιδρούν μεταξύ τους και διαχέονται στους ιστούς δημιουργούν αυθαίρετα σχήματα. Ο Τιούρινγκ ονόμασε αυτές τις χημικές ουσίες μορφογεννήτορες. Στην αρχή, οι ιδέες του ήταν καθαρά θεωρητικές, όμως σύντομα ένα καλό παράδειγμα σχημάτων Τιούρινγκ από τον πραγματικό κόσμο προσέλκυσε την προσοχή των χημικών : η αντίδραση Μπελούσοφ - Ζαμποτίνσκι. Εφαρμόζοντας τις εξισώσεις του, συγκεκριμένες χημικές ουσίες αναμιγνύονται και δημιουργούν θεαματικά σχήματα διαστελλόμενων κύκλων ή αργά στροβιλιζόμενων σπειρών. Αν οι χρωστικές εναποτίθενται σύμφωνα με τις κορυφές και τις κοιλάδες παράλληλων κυμάτων τότε προκύπτουν γρα;μμώσεις, ενώ πιο πολύπλοκα συστήματα συμβαλλόμενων κυμάτων παράγουν κηλίδες κοκ.
Οι πρώϊμες μαθηματικές εξισώσεις του Τιούρινγκ απείχαν από την πραγματική βιολογία ώστε να οδηγήσουν σε ακριβή μοντέλα. Η σύγχρονη γενετική καλύπτει ένα διαφορετικό τμήμα του πάζλ, καθώς εξηγεί την παραγωγή πρωτεϊνών αλλά όχι και τον τρόπο σύνδεσής τους ή το λόγο που η φύση προτιμά μαθηματικά σχήματα. Προφανώς απαιτείται ένας συνδυασμός και των δύο θεωρήσεων.

Η κερήθρα είναι ένα φυσικό θαύμα αρχιτεκτονικής
Τα σχήματα της κερήθρας είναι αρκετά κοινά στον φυσικό κόσμο, αλλά πιο σπάνια από τις ρίγες. Η μαθηματική δομή τους είναι πιο εμφανής, διότι οι κερήθρες αποτελούνται από εξάγωνα και τα εξάγωνα μελετώνται στα βιβλία της γεωμετρίας. Οι κερήθρες παρουσιάζουν ένα κύριο χαρακτηριστικό της δημιουργίας σχημάτων : τη χρήση της ίδιας βασικής μονάδας, που επαναλαμβάνεται. Μια κερήθρα αποτελεί έναν αποτελεσματικό τρόπο να συνταιριάξουν πολλές, πανομοιότυπες, σχεδόν κυκλικές περιοχές κι η φύση έχει πολλούς λόγους να κάνει κάτι τέτοιο. Έτσι, το εξάγωνο και η αντίστοιχη κερήθρα παίζουν κύριο ρόλο στη δημιουργία σχημάτων, τόσο στη φυσική όσο και στη βιολογία.
Οι μέλισσες κατασκευάζουν τις κερήθρες τους σε κάθετη διεύθυνση, με τις εξαγωνικές σήραγγες να τις διατρέχουν οριζόντια, ενώ οι σφήκες τις κατασκευάζουν ακριβώς αντίθετα. Οι γραμμές, η μία πάνω στην άλλη, σχηματίζουν εξάγωνα σε μια δισδιάστατη διάταξη. Τα εξάγωνα αποτελούν μικρούς θαλάμους, ικανούς να φιλοξενήσουν μια προνύμφη ή λίγο μέλι. Πως γίνεται οι μέλισσες και οι σφήκες να είναι τόσο έξυπνες και να κατασκευάζουν τέτοια πράγματα ; Το πιθανότερο είναι ότι κάτι τις βοηθά προσφέροντας ένα αρχικό πλεονέκτημα. Κάποια σχήματα κατασκευάζονται ευκολότερα από άλλα κι αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι κατά βάθος, το σύμπαν υπακούει σε απλούς κανόνες.
Κοντολογίς, οι σφήκες και οι μέλισσες δεν είναι τα μοναδικά όντα που κατασκευάζουν κερήθρες. Ένα μικροσκοπικό ψάρι στη λίμνη Χιούρον των ΗΠΑ, με ισχυρό εδαφικό ένστικτο, σμιλεύει περιοχές σε σχήμα πιάτου διαμέτρου 30 εκατοστών. Εγκαθίσταται στο μέσον κι από κει αποκρούει τους εχθρούς του. Υπάρχουν πολλά τέτοια ψάρια κι οι περιοχές τους είναι τοποθετημένες πολύ κοντά μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα είναι ένα σχήμα κερήθρας. Με πρώτη ματιά κάτι τέτοιο μοιάζει με εκπληκτικό αρχιτεκτονικό επίτευγμα, αλλά πρόκειται για τέχνασμα. Η φράση κλειδί είναι " τοποθετημένες πολύ κοντά". Αν πάρετε πολλούς πανομοιότυπους κύκλους - παραδείγματος χάριν, κέρματα -, τα τοποθετήσετε σ' ένα τραπέζι και τα κινήσετε μέχρι να στριμωχτούν, τότε διατάσσονται σε σχήμα κερήθρας. Στην πράξη, η κερήθρα αυτή δεν είναι εντελώς κανονική, αλλά το ίδιο συμβαίνει και με τις περιοχές των ψαριών και τις κερήθρες των μελισσών.
Πριν από περίπου εκατό χρόνια οι μαθηματικοί απέδειξαν ότι η κερήθρα είναι ο πιό αποτελεσματικός τρόπος για να στριμώξουμε κύκλους στο επίπεδο. Ο κύριος λόγος γι' αυτό είναι ότι έξι κύκλοι ταιριάζουν ακριβώς γύρω από έναν άλλο κύκλο του ίδιου μεγέθους και το σχήμα της κερήθρας επαναλαμβάνει αυτή τη δομή γύρω από κάθε κύκλο. Δημιουργούνται έτσι κανονικά σχήματα μεγάλης κλίμακας υπακούοντας σε απλούς, τοπικούς κανόνες.

Διάταξη κερήθρας
Ο πιο πυκνός τρόπος διάταξης ίσων κύκλων είναι η κερήθρα. Σ' αυτή τη διάταξη, κάθε νόμισμα ακουμπά άλλα έξι. Η πυκνή διάταξη της κερήθρας συναντιέται επίσης στις φολίδες των φιδιών και των σαυρών καθώς είναι ένας αποτελεσματικός τρόπος κάλυψης ενός επιπέδου με σχεδόν κυκλικά σχήματα.
Ο αριθμός 6 έχει μια γνήσια μαθηματική σπουδαιότητα : είναι το " φιλί " στις 2 διαστάσεις. Αν δηλαδή σχεδιάσετε ένα κύκλο στο επίπεδο και προσπαθήσετε να τακτοποιήσετε αρκετούς ίσους κύκλους έτσι ώστε ο καθένας από αυτούς να εφάπτεται ( " φιλάει " ) τον πρώτο και καθένας απ' αυτούς να μην επικαλύπτεται, τότε θα μπορέσετε να συνταιριάξετε ακριβώς έξι κύκλους γύρω από τον πρώτο. Δοκιμάστε το με κέρματα.Στις τρείς διαστάσεις, όπου οι κύκλοι αντικαθίστανται από σφαίρες, το " φιλί " είναι το 12. Προσπαθήστε με μπαλάκια του πίγνκ - πόνγκ. Λίγο δύσκολο, αλλά ίσως τα καταφέρετε. Πάντως, γύρω από ένα κεντρικό μπαλάκι, θα ταιριάξουν 12 μπαλάκια, όχι 13.Οι μαθηματικοί γνωρίζουν το " φιλί " μόνο για δύο ακόμα χωρικές διαστάσεις. Στις 8 διαστάσεις ο αριθμός " φιλί " είναι ο 240, ενώ στις 24 ο 196.560. Πιο λογικές διαστάσεις, όπως 4 ή 5 παραμένουν ακόμα αίνιγμα, θα δούμε όμως τις σφαίρες και τους χώρους υψηλών διαστάσεων στο " Φλάτερλαντ ", ένα άλλο βιβλίο του Ίαν Στιούαρτ.
Επιστροφή στις δύο διαστάσεις. Επειδή οι έξι ασπαζόμενοι κύκλοι ταιριάζουν ακριβώς, μπορούμε να τοποθετήσουμε περισσότερους, ακριβώς με τον ίδιο τρόπο ώστε να ασπάζονται κι αυτοί κι ούτω καθ' εξής. Το αποτέλεσμα είναι ένα σχήμα κερήθρας από ίσους κύκλους, όπου κάθε κύκλος περιβάλλεται από άλλους έξι. Αυτό το σχήμα παρουσιάζει πολλές συμμετρίες. Διαθέτει εξαπλή περιστροφική συμμετρία γύρω από το κέντρο οποιουδήποτε κύκλου. Διαθέτει ανακλαστική συμμετρία ως προς οποιαδήποτε ευθεία διέρχεται από τα κέντρα δύο γειτονικών κύκλων ή ως προς οποιαδήποτε γραμμή εφάπτεται σε δύο γειτονικούς κύκλους στο σημείο επαφής τους. Όχι μόνο αυτό, αλλά διαθέτει και συμμετρίες μετατόπισης : επιλέξτε δύο κύκλους και μετακινήστε ολόκληρο το σχήμα ώστε ο πρώτος κύκλος να μετατεθεί στη θέση του δεύτερου.

Γεωμετρία επισώρευσης ( πακετάρισμα )
Όλοι οι μανάβηδες γνωρίζουν πως να πακετάρουν πορτοκάλια. Είναι συγκλονιστικό ότι οι μαθηματικοί ανάλωσαν περισσότερα από 350 χρόνια για να καταλάβουν ότι οι οπωροπώλες είχαν δίκιο. Στο τέλος του 20ου αιώνα, οι μανάβηδες δικαιώθηκαν... με την βοήθεια υπολογιστών.
Ο γερμανός αστρονόμος Γιοχάνες Κέπλερ ( 1571 - 1630 ), στο βιβλίο του " Περί της εξαγωνικής χιονονιφάδας " που εκδόθηκε το 1611, εξέτασε μεταξύ άλλων, τρόπους επισώρευσης όμοιων σφαιριδίων σε τρεις διαστάσεις : " Η διάταξη θα είναι κυβική και τα σφαιρίδια, όταν ασκηθεί πάνω τους πίεση, θα γίνουν κύβοι. Όμως, αυτή δεν θάναι η πιο σφιχτή επισώρευση. Στη δεύτερη φάση, κάθε σφαιρίδιο εφάπτεται με τα τέσσερα γειτονικά του στο ίδιο επίπεδο, με τέσσερα στο πάνω επίπεδο και με τέσσερα στο κάτω επίπεδο. Συνολικά, κάθε σφαιρίδιο εφάπτεται με δώδεκα, και κάτω από πίεση τα σφαιρίδια γίνονται ρομβοειδή...Η επισώρευση θα είναι η πιο σφιχτή, έτσι ώστε σε καμμία άλλη διάταξη να μην μπορούν να στοιβαχτούν περισσότερα σφαιρίδια στο ίδιο δοχείο."
Πρόκειται για το ολοεδρικά κεντρωμένο κυβικό πλέγμα : τα σημεία του πλέγματος είναι οι κορυφές μιας στοίβας από κύβους και τα κέντρα των εδρών τους. Είναι η διάταξη που χρησιμοποιείται κυρίως από τους οπωροπώλες για το στοίβαγμα των πορτοκαλιών. Ίσως φαίνεται προφανές ότι αυτή πρέπει να είναι η πιο αποτελεσματική επισώρευση σε τρεις διαστάσεις, όμως ήταν δύσκολο να διατυπωθεί μια λογική εξήγηση.
Η εικασία του Κέπλερ, όπως ονομάστηκε τελικά αυτή η αθώα παρατήρηση του μυστικιστή μαθηματικού, αντιστεκόταν μέχρι πριν λίγα χρόνια. Το 1953, ο ούγγρος μαθηματικός Φέγιες Τότ επιχείρησε την απόδειξη, ωστόσο ο υπολογισμός ήταν υπερβολικά μεγάλος ακόμα και για τους σημερινούς υπολογιστές. Η διαίσθηση του Κέπλερ δικαιώθηκε πλήρως το 1998, όταν ο αμερικανός μαθηματικός Τόμας Χέιλ με τη βοήθεια του Σάμιουελ Φέργκιουσον, κατέληξε σ' ένα συμπέρασμα : στο άπειρο επίπεδο , η εξαγωνική επισώρευση είναι καλύτερη από την τετραγωνική. Έτσι, ο καλύτερος τρόπος να στριμώξουμε κύκλους σ' ένα πραγματικά μεγάλο κουτί είναι να το γεμίσουμε με δομή κερήθρας και κατόπιν ν' αυτοσχεδιάσουμε στα κενά κοντά στις πλευρές. Η τελική περιγραφή είναι 250 σελίδες και 3 Gbyte υπολογιστικού κώδικα και δεδομένων, όλα διαθέσιμα στην προσωπική σελίδα του Χέιλς στο Πανεπιστήμιο του Μίσιγκαν.

Γεωμετρία επιστρώσεων
Επίστρωση ενός δαπέδου με κανονικά πολύγωνα : τετράγωνα, εξάγωνα, ισόπλευρα τρίγωνα. Υπάρχουν ακριβώς τρείς τρόποι για να επιτύχουμε κάτι τέτοιο με κανονικά πολύγωνα : να χρησιμοποιήσουμε τέσσερα τετράγωνα, καθένα σε γωνία 90 μοιρών, τρία εξάγωνα, κάθετα σε γωνία 120 μοιρών, ή έξι τρίγωνα, κάθετα σε γωνία 60 μοιρών. Δεν υπάρχει άλλη δυνατότητα επίστρωσης με κανονικά πολύγωνα, διότι οι γωνίες των κοινών κορυφών πρέπει να έχουν άθροισμα 360 μοιρών.
Ένα από τα επιτεύγματα του ανθρώπινου πολιτισμού είναι τα πλακόστρωτα ! Οι Αιγύπτιοι έστρωναν πέτρινες πλάκες σε κανονικά σχήματα, οι αρχαίοι Έλληνες και οι Ρωμαίοι έκαναν παρόμοια σχήματα με τα μωσαϊκά τους. Το απλούστερο σχήμα επίστρωσης είναι μια " σκακιέρα " από ίσα τετράγωνα πλακίδια.
Εκτός από τα τετράγωνα, χρησιμοποιούνται επίσης κανονικά πολύγωνα - σχήματα με ίσες ευθύγραμμες πλευρές και ίσες γωνίες σε κάθε κορυφή. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι ένα κανονικό πολύγωνο με τρείς πλευρές, ένα εξάγωνο είναι ένα πολύγωνο με έξι πλευρές. Τα κανονικά πολύγωνα έχουν οποιοδήποτε αριθμό πλευρών μεγαλύτερο του τρία.
Ποιά κανονικά πολύγωνα θα επιλέγαμε προκειμένου να επιστρώσουμε ένα επίπεδο μόνο μ' ένα σχήμα πλακιδίου ; Ισόπλευρα τρίγωνα, τετράγωνα, εξάγωνα και τίποτε άλλο. Γιατί δεν υπάρχουν άλλες δυνατότητες ; Γιατί όχι πεντάγωνα για παράδειγμα ;
Το κύριο σημείο είναι ότι οι γωνίες σε κάθε κορυφή πρέπει να ταιριάζουν ακριβώς, χωρίς κενά κι επικαλύψεις. Έτσι η κορυφή του πολυγώνου πρέπει να είναι ακέραιος διαιρέτης των 360 μοιρών. Αυτό ισχύει για ισόπλευρα τρίγωνα ( 60 μοίρες, δηλαδή το 1/6 των 360 ), για τετράγωνα ( 90 μοίρες, δηλαδή 1/4 των 360 ) και για εξάγωνα ( 120 μοίρες, δηλαδή 1/3 των 360 ). Όμως δεν ισχύει για πεντάγωνα ( 108 μοίρες ) : τρία πεντάγωνα αφήνουν κενό και τέσσερα επικαλύπτονται. Δεν ισχύει επίσης για οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο με επτά ή περισσότερες πλευρές. Έτσι, αυτές οι τρεις δυνατότητες, που ονομάζονται ψηφίδες, είναι το συνολικό πλήθος.
Αν χρησιμοποιήσουμε διαφορετικά πολύγωνα, η ποικιλία των σχημάτων αυξάνει. Εφαρμόζοντας τις ίδιες θεωρήσεις για το πως ταιριάζουν οι γωνίες, υπάρχουν ακριβώς εννέα ξεχωριστές ημικανονικές επιστρώσεις, που σημαίνει ότι όλα τα πλακίδια είναι κανονικά πολύγωνα, εφάπτονται κορυφή με κορυφή και η διάταξη σε κάθε κορυφή είναι η ίδια. Εφτά από αυτές τις επιστρώσεις είναι ίδιες με τα κατοπτρικά τους είδωλα και οι δύο άλλες εμφανίζονται ως ζεύγος κατοπτρικών ειδώλων.
Για παράδειγμα, αν προσπαθήσουμε να στρώσουμε το μπάνιο μας με οκτάγωνα, βρίσκουμε ότι αφήνουν τετράγωνα κενά που καλύπτονται από τετράγωνα πλακίδια. Ομοίως, εξάγωνα που εφάπτονται κορυφή με κορυφή αφήνουν τριγωνικά κενά. Τα εξάγωνα μπορούν να περικυκλωθούν από εναλλασσόμενα τετράγωνα και τρίγωνα, ενώ τα δωδεκάγωνα από τρίγωνα.
Πηγές στοιχείων : Ίαν Στιούαρτ, Μαθηματικός, " Οι μυστικοί αριθμοί : από το σχήμα της χιονονιφάδας στο σχήμα του σύμπαντος ", Τραυλός 2001, Φωτογραφική κοινότητα.

Δεν υπάρχουν σχόλια: