Παρασκευή, 30 Μαΐου 2008

Οι σπείρες

Απολιθώματα αμμωνιτών
Ο Βέλγος φυσιοδίφης και γιατρός του 16ου αιώνα, Conrad Gesner ( 1516 - 65 ) , έχει χαρακτηρισθεί ως ο μεγαλύτερος φυσιοδίφης της εποχής του. Εξέδωσε συνολικά 72 έργα κι άφησε 18 ανολοκλήρωτα. Το 1565, έτος του θανάτου του στη Ζυρίχη από την πανούκλα, ολοκλήρωσε το πρωτοπωριακό του De Rerum Fossilium ( Περί των ανεσκαμμένων εκ της γης αντικειμένων ) , το οποίο σηματοδοτεί τη γέννηση της επιστήμης της παλαιοντολογίας.
Για τον Gesner και τους συγχρόνους του η λέξη " απολίθωμα " αναφερόταν σε οποιοδήποτε φυσικό αντικείμενο με προέλευση το έδαφος, είτε αυτό ήταν ορυκτό, είτε υπόλειμμα ζωντανού οργανισμού. Δεν αποτελεί λοιπόν ιδιαίτερη έκπληξη το γεγονός ότι πάσχιζαν να κατανοήσουν την ύπαρξη αυτών των " λίθινων συμπυκνώσεων ", όπως τα απολιθώματα των εξαφανισμένων θαλάσσιων μαλακίων, που είναι γνωστά ως αμμωνίτες. Ο Gesner δυσκολεύτηκε να ερμηνεύσει την ύπαρξή τους : ορισμένα θεώρησε ότι ήταν κελύφη σαλιγκαριών, ενώ άλλα τα πέρασε για κουλουριασμένα φίδια.
Η ερμηνεία των απολιθωμάτων είναι δύσκολη ακόμα και σήμερα. Μερικές φορές η διαδικασία της απολίθωσης όχι μόνο συγκαλύπτει την πραγματική φύση των οργανικών υπολειμμάτων, αλλά δημιουργεί και σχηματισμούς που δείχνουν οργανικοί, ενώ στην πραγματικότητα είναι ανόργανης προέλευσης - όπως πιστοποιεί η διχογνωμία για τα αρειανά μικροαπολιθώματα.
Τα έμβια όντα δεν έχουν αιχμηρά σχήματα. Για την ακρίβεια, ένα από τα αγαπημένα σχήματα της ζωής, η έλικα, βασίζεται σε καμπύλες. Με τον όρο έλικα, εννοούμε τουλάχιστον δύο πράγματα : μια επίπεδη καμπύλη που περιστρέφεται κινούμενη προς τα έξω, ή μια στρεβλωμένη καμπύλη στον χώρο, σαν μια ελικοειδή σκάλα. Η φύση διαθέτει και τις δύο αυτές μορφές, καθώς επίσης και μια σύνθεσή τους, που εμφανίζεται στα κοχύλια.
Τα ελικοειδή κοχύλια εμφανίζονται συνήθως σε απολιθώματα. Η επίπεδη έλικα του αμμωνίτη - του οποίου υπάρχουν αρκετά είδη - είναι ευρέως αναγνωρίσιμη. Οι αμμωνίτες ήταν πλάσματα που ζούσαν στις θάλασσες κατά τις περιόδους Δεβόνιο, Λιθανθρακοφόρο και Πέρμιο, πριν από 300 εκατομμύρια χρόνια.
Το σχήμα ορισμένων αμμωνιτών μοιάζει με την έλικα του Αρχιμήδη, όπου οι διαδοχικές περιελίξεις ισαπέχουν μεταξύ τους. Σχηματίζουν μια λογαριθμική έλικα, στην οποία οι αποστάσεις των σπειρών πολλαπλασιάζονται επί έναν συγκεκριμένο αριθμό για κάθε περιστροφή. Το πιο γνωστό κοχύλι τέτοιας μορφής είναι ο ναυτίλος, ένα θαλάσσιο μαλάκιο που ζεί στα βάθη του Ινδικού Ωκεανού. Διαθέτει μακριά πλοκάμια για να αιχμαλωτίζει και να τρώει καβούρια και κέλυφος για προστασία, το σχήμα του οποίου διαιρείται εκπληκτικά κανονικά σε διαδοχικά χωρίσματα.
.
Το κέλυφος του ναυτίλου
Το κέλυφος του Ναυτίλου, αποτελείται από καμπυλωμένες κυψελίδες που περιστρέφονται και μεγαλώνουν σταδιακά. Η δομή της ανάπτυξης ενός ναυτίλου παράγει ένα σχήμα λογαριθμικής σπείρας.
Τα σπειροειδή κελύφη των αμμωνιτών και του ναυτίλου προκύπτουν από απλούς τρόπους ενηλικίωσης του όντος καθώς χτίζει το κέλυφος γύρω του. Ένας αναπτυσσόμενος ναυτίλος δεν μπορεί να επεκταθεί στο εσωτερικό ενός σταθερού όστρακου, ούτε το τελευταίο μπορεί να επεκταθεί ώστε να χωρέσει έναν μεγαλύτερο ένοικο, εκτός κι αν εκείνος χτίσει επέκταση. Ακριβώς αυτό κάνει κι ο ναυτίλος. Προσθέτει νέο υλικό στο άκρο του κελύφους του και καθώς ο οργανισμός αναπτύσσεται εκθετικά, το ίδιο κάνει και το κέλυφος.
Στη στεριά, τα σαλιγκάρια κατασκευάζουν παρόμοια κελύφη που συχνά περιελίσσονται κατά την τρίτη διεύθυνση. Φυσικά, το σχήμα του κελύφους είναι πάντοτε τρισδιάστατο. Ο πυρήνας της έλικας - η γραμμή που που διατρέχει τα κέντρα των θαλάμων - παύει να βρίσκεται σ' ένα επίπεδο κι αρχίζει να συστρέφεται στην τρίτη διεύθυνση. Προσθέτοντας ένα νέο θάλαμο κι αλλάζοντας το μέγεθός του με κανονικό τρόπο, το σαλιγκάρι κατασκευάζει έναν θάλαμο υπό γωνία ως προς το επίπεδο του προηγούμενου.
Σύμφωνα με μετρήσεις στον ναυτίλο, κάθε διαδοχική περιέλιξη είναι περίπου τρεις φορές το πλάτος της προηγούμενης. Σε άλλα σπειροειδή όστρακα ο λόγος αυτός διαφέρει. Ο Ντ' Αρσί Τόμσον παραθέτει περισσότερα από 40 είδη οστράκων, στα οποία ο λόγος μεταξύ δύο διαδοχικών περιελίξεων κυμαίνεται από 1.14 έως 10. Ορισμένα όστρακα αμμωνιτών εμφανίζουν τόσο μικρό ρυθμό ανάπτυξης ώστε να μοιάζουν με την σπείρα του Αρχιμήδη, στην οποία οι διαδοχικές περιελίξεις είναι ίσες ( λόγος ίσος με 1 ).
Ωστόσο, οι περισσότεροι αμμωνίτες είχαν κελύφη λογαριθμικής σπείρας, πράγμα που σημαίνει ότι μεγάλωναν εκθετικά, διπλασιάζοντας το μέγεθός τους σε συγκεκριμένες χρονικές περιόδους. Άλλα όστρακα εμφανίζουν κάθε είδος σπειροειδούς σχήματος. Συμπέρασμα : η μορφή του όστρακου είναι κάποιο είδος καταγραφής του τρόπου ανάπτυξης του ενοίκου του και του ρυθμού με τον οποίο κατασκευάζει υλικό για το όστρακο. Το σχήμα που βλέπουμε σ' ένα όστρακο αποτελεί ένδειξη των κανόνων ανάπτυξης του όντος.

Η λογαριθμική σπείρα
Ένας αποτελεσματικός τρόπος σχεδίασης μιας καλής προσέγγισης σε μια λογαριθμική
σπείρα, αν κι αναπτύσσεται με διαφορετικό ρυθμό από το κέλυφος του Ναυτίλου, είναι να κατασκευάσουμε αυτή τη διάταξη τετραγώνων και σε κάθε τετράγωνο να τοποθετήσουμε από ένα τέταρτο της περιφέρειας ενός κύκλου.
Το σχήμα των σπειροειδών κελυφών εξηγείται με τη συμμετρία διαστολής - περιστροφής. Μια συμμετρία που μεταβάλει την κλίμακα ενός αντικειμένου ονομάζεται διαστολή. Η διαστολή πολλαπλασιάζει όλες τις αποστάσεις επί μια καθορισμένη ποσότητα, τον παράγοντα κλίμακας. Αν ο τελευταίος είναι μικρότερος της μονάδας, οι αποστάσεις συρρικνώνονται : έχουμε συστολή. Αν ο παράγοντας κλίμακας είναι μεγαλύτερος, όλες οι αποστάσεις αυξάνονται : το αντικείμενο μεγεθύνεται και διαστέλλεται. Αν συνδυάσουμε τη διαστολή με μία περιστροφή, το σχήμα που προκύπτει είναι μία σπείρα. Σπείρες υπάρχουν παντού στη φύση.
Η σπείρα είναι μία καμπύλη που περιελίσσεται - και διαρκώς απομακρύνεται - γύρω από ένα κεντρικό σημείο. Μόνο ένα είδος διαθέτει ακριβή συμμετρία διαστολής : η λογαριθμική σπείρα. Το όνομα προκύπτει επειδή η γωνία κατά την οποία στρέφεται, δίνεται από τον λογάριθμο της ακτίνας. Ένας ευφάνταστος τρόπος περιγραφής της είναι μία ράβδος άπειρου μήκους που περιστρέφεται γύρω από ένα σταθερό σημείο με σταθερή ταχύτητα. Ας φανταστούμε ένα μολύβι να κινείται κατά μήκος της ράβδου, απομακρυνόμενο από το σημείο περιστροφής, με αυξανόμενη ταχύτητα και μάλιστα εκθετικά - που σημαίνει ότι διπλασιάζεται κάθε συγκεκριμένη χρονική περίοδο. Καθώς η ράβδος περιστρέφεται και το μολύβι απομακρύνεται ταχύτατα, η μύτη του σχεδιάζει μια λογαριθμική σπείρα.
Το εμφανές ποιοτικό χαρακτηριστικό μιας λογαριθμικής σπείρας είναι ότι περιελίσσεται πολύ στενά γύρω από το κέντρο, αλλά μετά από διαδοχικές στροφές χαλαρώνει, καθώς αυξάνει η απόσταση από το κέντρο. Μια ποσοτική εξήγηση αυτής της περιέλιξης είναι ότι η καμπύλη είναι συμμετρική σ' έναν ιδιαίτερο συνδυασμό περιστροφής και διαστολής. Μάλιστα, κάθε περιστροφή της καμπύλης συνδυάζεται και με μια κατάλληλη διαστολή, ώστε να διατηρείται αναλλοίωτη η μορφή και η θέση της σπείρας.

Ο Λεονάρντο της Πίζα ( Φιμπονάτσι ) επινόησε την περιβόητη ακολουθία 1,2,3,5,8,13...στην οποία, εκτός από τους δύο πρώτους, κάθε άλλος αριθμός ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων ) ως πρόβλημα σ' ένα βιβλίο αριθμητικής. Σήμερα κατανοούμε αρκετά καλά τον τρόπο με τον οποίο η δυναμική ανάπτυξης των φυτών οδηγεί σε αριθμούς Φιμπονάτσι. Ωστόσο, οι λεπτομερείς βιολογικοί μηχανισμοί πίσω από τη δυναμική δεν έχουν κατανοηθεί πλήρως. Για παράδειγμα, πιστεύουμε ότι οι συγκεκριμένες ορμόνες χρησιμοποιούνται για την παρεμπόδιση της ανάπτυξης σε ειδικές θέσεις, αλλά δεν είμαστε βέβαιοι για ποιιές ορμόνες πρόκειται.
Γιατί οι αριθμοί Φιμπονάτσι ; Η σύντομη εξήγηση είναι ότι ο τρόπος ανάπτυξης των φυτών οδηγεί σε μια προτίμηση για ένα μικρό εύρος γεωμετριών με πιο ενδιαφέρον τα ελικοειδή σχήματα που βασίζονται στη λεγόμενη χρυσή γωνία. Η τελευταία, περίπου ίση με με 137,5 μοίρες, έχει ισχυρή μαθηματική συγγένεια με τους αριθμούς Φιμπονάτσι κι ευθύνεται για την εμφάνισή τους.
Η μακροσκελής εξήγηση ... διαρκεί περισσότερο. ΄Οταν ένα νεαρό φυτό ξεφυτρώνει κι αρχίσει ν' αναπτύσσεται, η κύρια πηγή δραστηριότητας είναι η κορυφή του θαλλού. Εδώ τα κύτταρα διαιρούνται διαρκώς παράγοντας νέα. Τα κύτταρα μεταναστεύουν από την κορυφή του θαλλού προς τη βάση του κι έτσι σχήματα γενετικής και βιοχημικής δραστηριότητας δίνουν το πλαίσιο για τη μετέπειτα ανάπτυξη πλευρικών θαλλών, πετάλων, σπόρων κι όλων των υπόλοιπων οργάνων του φυτού.

Οι ύπεροι της μαργαρίτας διατάσσονται σε διαδοχικές μονάδες υπό γωνία 137,5 μοιρών. Οι σπόροι επισωρεύονται σφιχτά και ισαπέχουν ( κέντρο ) . Αν η γωνία είναι μικρότερη ( αριστερά ) ή μεγαλύτερη ( δεξιά ), οι σπόροι δεν επισωρεύονται κατάλληλα. Η αριθμολογία Φιμπονάτσι και η γεωμετρία της σπείρας υπαγορεύουν ότι η ανάπτυξη του φυτού υπακούει σε απλούς αλλά κρυμμένους μαθηματικούς νόμους που βρίσκονται στο κοινό σύνορο της δυναμικής, της γεωμετρίας και της αριθμητικής.
Κοντά στην κορυφή σχηματίζονται σμήνη κυττάρων, έτοιμα να εξειδικευτούν σε όργανα. Τα σμήνη, που ονομάζονται πρωτογενή μεριστώματα, δημιουργούνται από ένα κάθε φορά. Το συνολικό σχήμα ανάπτυξης είναι σπειροειδές. Κάθε διαδοχικό μερίστωμα εμφανίζεται κατά μήκος μιας στενά περιελισσόμενης παραγωγικής σπείρας και η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών μεριστωμάτων είναι η χρυσή γωνία. Αποδεικνύεται όιτι αυτή η ιδιαίτερη γωνία οδηγεί σε αποτελεσματική επισώρευση των μεριστωμάτων ενώ καμμία άλλη γωνία δεν δίνει το ίδιο αποτέλεσμα. Όμως, αυτή η αποτελεσματικότητα είναι συνέπεια κι όχι αίτιο του σχήματος της ανάπτυξης. Η απόσταση της χρυσής γωνίας είναι αποτέλεσμα μηχανικών και χημικών επιδράσεων που ενθαρρύνουν κάθε νέο πρωτογενές μερίστωμα να αναπτυχθεί στη μεγαλύτερη διαθέσιμη κενή περιοχή.
Το πιο θεαματικό παράδειγμα αριθμολογίας Φιμπονάτσι στα άνθη είναι ο ύπερος της μαργαρίτας και ιδιαίτερα των μεγάλων ηλίανθων. Εδώ, οι σπόροι από μεριστώματα τοποθετημένα κατά μήκος μιας παραγωγικής σπείρας σε διαδοχικές αποστάσεις που διαφέρουν κατά τη χρυσή γωνία, ευθυγραμμίζονται σε πιο εμφανείς σπειροειδείς περιελίξεις. Συνήθως υπάρχουν 34 δεξιόστροφες περιελίξεις και 55 αριστερόστροφες, ή 55 και 89, ή 89 και 144, όλοι διαδοχικοί αριθμοί Φιμπονάτσι.
Η ίδια αριθμολογία μπορεί να παρατηρηθεί στα κουνουπίδια, τα οποία μοιάζουν σα άμορφες λευκές μάζες. Αν κοιτάξουμε προσεκτικά θα διαπιστώσουμε ότι οι μάζες αυτές είναι διατεταγμένες σε όμορφες σπειροειδείς περιελίξεις. Συμπέρασμα : Άλλα τα μάτια του μαθηματικού κι άλλα της κουκουβάγιας :)

Ο μυξομύκητας
Ο μυξομύκητας αποτελεί αποικία αμοιβάδων, η οποία αναπαράγεται με τη διαίρεση και την εξάπλωση των αμοιβάδων. Όταν οι πληθυσμοί αυξηθούν, ορισμένες αμοιβάδες ξεραίνονται και σχηματίζουν σπόρους που σωρεύονται σε μια στρογγυλή δομή, ενώ οι υπόλοιπες υψώνουν κάτι σα στέλεχος για την εγκατάστασή τους. Κατόπιν οι σπόροι σκορπίζονται στον αέρα.
Ο ταπεινός μυξομύκητας είναι ένας μικροσκοπικός, χωρίς νοημοσύνη οργανισμός, δημιουργεί όμως τα πλέον θεαματικά σπειροειδή σχήματα. Δεν είναι μια αμοιβάδα, αλλά μια αποικία αμοιβάδων. Ο κύκλος ζωής του αρχίζει μ' ένα μικρό σπόρο, μια αποιξηραμένη αμοιβάδα που σκορπίζεται στον αέρα μέχρι να βρεί ένα καλό και υγρό μέρος. Εκεί μετατρέπεται σε αυθεντική αμοιβάδα, αναζητά τροφή κι αρχίζει ν' αναπαράγεται με διαίρεση μέχρι να γίνει αρκετά μεγάλη. Σύντομα οι αμοιβάδες γίνονται πολλές. Η τροφή δεν επαρκεί, και οι αμοιβάδες σκορπίζονται σε μικρές περιοχές. Όλες οι αμοιβάδες σε μια περιοχή συγκεντρώνονται η μία κοντά στην άλλη και, καθώς το πλήθος τους κινείται προς τον κοινό προορισμό, σχηματίζουν κομψές σπείρες οι οποίες, κατά σύμπτωση, περιστρέφονται αργά.
Το πλήθος των αμοιβάδων γίνεται πυκνότερο και οι σπείρες ολοένα και πιο κλειστές. Κατόπιν αναλύονται σε ευθύγραμμα σχήματα που μοιάζουν με ρίζες. Οι γραμμές αυξάνουν σε πάχος και, καθώς ολοένα και περισσότερες αμοιβάδες προσπαθούν να φτάσουν στο ίδιο μέρος, συσσωρεύονται δημιουργώντας τη γνωστή βλεννώδη μάζα. Η τελευταία είναι μια ολόκληρη αποικία. Κινείται σαν μεμονωμένος οργανισμός, αναζητώντας κάποιο στεγνό μέρος για να αναπαραχθεί. Όταν το βρεί, εγκαθίσταται στο έδαφος και υψώνει ένα μακρύ στέλεχος. Οι υπόλοιπες αμοιβάδες σχηματίζουν μια στρογγυλή δομή στην κορυφή του στελέχους, ενώ οι αμοιβάδες στο καρποφόρο σώμα μετατρέπονται σε σπόρους, σκορπίζονται στον αέρα κι ο κύκλος επαναλαμβάνεται.
Οι μαθηματικοί βιολόγοι Τόμας Χέφερ και Μάρτιν Μπέρλιστ ανακάλυψαν ένα απλό σύστημα μαθηματικών εξισώσεων που αναπαράγει τόσο τις σπείρες όσο και τα ευθύγραμμα σχήματα. Οι κύριοι παράγοντες που ευθύνονται για τα σχήματα είναι η πυκνότητα του πληθυσμού των αμοιβάδων, ο ρυθμός με τον οποίο παράγουν τη χημική ουσία με το όνομα κυκλικό AMP, και η ευαισθησία μεμονωμένων αμοιβάδων σε αυτή τη χημική ουσία. Κάθε αμοιβάδα αναγγέλει την παρουσία της στους γείτονές της με την εκπομπή κυκλικού AMP. Τότε οι αμοιβάδες κατευθύνονται προς τη διεύθυνση στην οποία οι “ κραυγές ” είναι εντονότερες. Όλα τα υπόλοιπα είναι μαθηματικό επακόλουθο αυτής της διεργασίας.

Σπειροειδές κύμα
Μερικές φορές, οι μυξομύκητες κινούνται σαν γυμνοσάλιαγκες σε τρισδιάστατα σπειροειδή κύματα.
Ο μαθηματικός βιολόγος Κορνέλιους Βέϊερ έδειξε ότι παρόμοιες εξισώσεις μπορούν επίσης να μοντελοποιήσουν την κίνηση της βλεννώδους μάζας. Πρόκειται για ένα τρισδιάστατο πρόβλημα κι η απάντηση εμπλέκει το τρισδιάστατο “ σπειροειδές κύμα ”. Ο Άρτ Ουίνφρι, επίσης μαθηματικός βιολόγος, προέβλεψε την εμφάνιση τέτοιων κυμάτων στην αντίδραση Μπελούσοφ – Ζαμποτίνσκι σε τρείς διαστάσεις, ενώ έχουν διεξαχθεί πειράματα που τα ανίχνευσαν.
Ένα σπειροειδές κύμα μοιάζει με σπείρα αλλά διαθέτει μια επιπλέον συστροφή : έστω ότι τυλίγουμε ένα φύλλο χαρτιού πολλές φορές μέχρι να σχηματιστεί μία σπείρα. Κάμπτουμε τα δύο άκρα μέχρι να συναντηθούν κι έχουμε ένα σχήμα λουκουμά με σπειροειδή διατομή. Αυτό είναι περίπου ένα σπειροειδές κύμα. Για την ακρίβεια, πρέπει επιπρόσθετα να συστρέψουμε το ένα άκρο του χαρτιού κατά ένα πλήρη κύκλο προτού το εφαρμόσουμε στο άλλο. Τα άκρα θα συνεχίσουν να ταιριάζουν, καθώς κάναμε μια πλήρη συστροφή, αλλά τώρα οι σπειροειδείς διατομές στρέφονται κατά 360 μοίρες καθώς κινούμαστε γύρω από το λουκουμά.
Το τελικό βήμα είναι να θυμηθούμε ότι σε δύο διαστάσεις οι σπείρες Μπελούσοφ – Ζαμποτίνσκι δεν είναι στατικές αλλά περιστρέφονται. Όλες αυτές οι σπειροειδείς διατομές περιστρέφονται συντονισμένα κι αυτό είναι ένα σπειροειδές κύμα. Η παράξενη, στροβιλιζόμενη περιστροφή του είναι αυτό ακριβώς που χρειάζεται ώστε η βλεννώδης μάζα να διασχίσει το έδαφος αναζητώντας ένα μέρος για να ριζώσει και να ξεπετάξει το καρποφόρο σώμα της.
Τα περισσότερα από τα γονίδια του μυξομύκητα απλώς υπαγορεύουν τον τρόπο μετατροπής του σε αμοιβάδα. Τα γονίδια που τον βοηθούν να δημιουργήσει σχήματα υπαγορεύουν στις αμοιβάδες πώς να εκπέμψουν χημικά σήματα, πώς να τα ανιχνεύσουν και πως ν’ αποικριθούν, όμως τα ίδια τα πραγματικά σχήματα δεν καθορίζονται από τα γονίδια. Αντ’ αυτού, τα σχήματα προκύπτουν από τους μαθηματικούς κανόνες που διέπουν τα χημικά σήματα και τις αμοιβάδες. Ο κύκλος ζωής του μυξομύκητα οφείλει πολλά τόσο στα μαθηματικά όσο και στη γενετική.
Πηγές στοιχείων : Ίαν Στιούαρτ, " Οι μυστικοί αριθμοί : από το σχήμα της χιονονιφάδας στο σχήμα του σύμπαντος ", Τραυλός 2001, Το βιβλίο των επιστημών, Αλεξάνδρεια 2005 καθώς και οι ιστοσελίδες που ήδη αναφέρθηκαν.

Δεν υπάρχουν σχόλια: